大学物理学（下册）— 完整复习笔记 • bt's Blog

教材：汪洪、韩家骅主编《大学物理学》（第4版）下册。本笔记按教材章节逐节整理，覆盖全部定义、定律、公式（含适用条件与符号意义）与教材例题，星号标出考试高频重点。

全书地图：第 12~16 章是电磁学一条龙——静电场（库仑定律 → 高斯定理 → 环路定理）→ 导体与电介质 → 恒定磁场（毕奥—萨伐尔定律 → 安培环路定理）→ 磁介质 → 电磁感应，最后汇成麦克斯韦方程组并预言电磁波；第 17 章把正弦交流电讲透（三要素、矢量图解与复数法、功率、谐振、三相）；第 18 章进入光学（几何光学三定律、全反射；原书扫描件只到 §18.2 开头，本笔记如实收录）。一条主线：变化的磁场激发电场，变化的电场激发磁场——电与磁在对称性中走向统一。

12.1 库仑定律

一、电荷及其性质

电荷种类：电荷只有正电荷、负电荷两种；同号相斥、异号相吸，此相互作用称电性力。电荷多寡用电荷量（电量）$q$ 或 $Q$ 表示，正电荷取正、负电荷取负。
电荷守恒定律：与外界无电荷交换的系统内，正负电荷的代数和在任何物理过程中保持不变；物理学基本定律之一，宏观（起电、中和、静电感应、电极化）与微观过程均成立。例：${}^{226}_{88}\mathrm{Ra}\to{}^{222}_{86}\mathrm{Rn}+{}^{4}_{2}\mathrm{He}$ 前后电量总和不变；光子在重核附近可产生电子偶 $\gamma\to\mathrm{e}^{+}+\mathrm{e}^{-}$（也能湮没为光子），前后电荷代数和均为零。
注意：不能把守恒定律说成”电荷不能创造、不能消灭、只能转移”——电子偶的产生与湮没即反例。
电荷的量子化：电子带最小负电荷 $-e$、质子带最小正电荷 $e$，$e=1.602\times10^{-19}\ \mathrm{C}$（单位库仑 C）。任何电荷 $q=ne\ (n=\pm1,\pm2,\cdots)$；$e$ 称元电荷。电量只能取分立不连续值的性质称电荷的量子化。
夸克模型：夸克/反夸克带电 $\pm\frac{1}{3}e$、$\pm\frac{2}{3}e$；自由夸克尚未发现，即使发现也不破坏量子化。量子极微小，宏观上量子化显示不出，可视为连续。
电荷的相对论不变性：电量与电荷运动状态无关。证据：氢分子与氦原子均含两个电子、两个质子，但质子运动状态差异极大（能量约差 $10^{6}$ 倍），两者实验上都是电中性，说明电量与运动状态无关。

二、库仑定律

点电荷：理想模型——带电体大小与两带电体间距相比很小，可忽略形状和大小。
库仑定律（1785 年库仑扭秤实验）：真空中两个静止点电荷间作用力的大小与 $q_1q_2$ 成正比、与距离平方成反比，方向沿连线，同号相斥、异号相吸。SI 形式：

$$\boldsymbol{F}_{12}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r_{12}^{3}}\boldsymbol{r}_{12}$$

$\boldsymbol{F}_{12}$：$q_1$ 对 $q_2$ 的力（N）；$\boldsymbol{r}_{12}$：由 $q_1$ 指向 $q_2$ 的矢量。同号时二者同向（斥力），异号反向（引力）。适用条件：真空、静止点电荷。
由 $\boldsymbol{r}_{12}=-\boldsymbol{r}_{21}$ 得 $\boldsymbol{F}_{12}=-\boldsymbol{F}_{21}$：静止电荷间作用满足牛顿第三定律。
真空电容率（真空介电常量）$\varepsilon_0=8.85\times10^{-12}\ \mathrm{C^2\cdot N^{-1}\cdot m^{-2}}$（即 $\mathrm{F\cdot m^{-1}}$）；$k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\approx9.0\times10^{9}\ \mathrm{N\cdot m^2\cdot C^{-2}}$
三点需要指出：
- 单位制有理化：引入 $4\pi$ 因子后，导出公式中不再出现 $4\pi$，运算更简洁；
- 平方反比律精确性：$r$ 从 $10^{-17}\ \mathrm{m}$ 到 $10^{7}\ \mathrm{m}$ 范围内精确成立；分母指数实为 $2+\alpha$，与光子静止质量有关，实验给出光子静止质量上限 $10^{-48}\ \mathrm{kg}$（$|\alpha|\leqslant10^{-16}$）；
- 静电力叠加原理：多个点电荷作用在某点电荷上的总静电力等于其他各电荷单独作用力的矢量和。库仑定律只适用于点电荷，带电体须分成电荷元叠加处理；库仑定律与叠加原理结合，原则上可解全部静电学问题。

【例12-1-1】 氢原子基态电子、质子相距 $r=5.3\times10^{-11}\ \mathrm{m}$，比较静电力与万有引力 → 分别用两定律计算再求比 → $F_{\mathrm{e}}=8.2\times10^{-8}\ \mathrm{N}$，$F_{\mathrm{g}}=3.6\times10^{-47}\ \mathrm{N}$，$F_{\mathrm{e}}/F_{\mathrm{g}}=2.3\times10^{39}$：微观领域万有引力可忽略。

【例12-1-2】 两质量 $m$ 的小球各用长 $l$ 细线悬挂，带等量同种电荷后相斥平衡、间距 $d$ → 平衡条件 $F=mg\tan\theta$，$d\ll l$ 时 $\tan\theta\approx d/2l$，代入库仑定律 → $q=\pm\left(\dfrac{4\pi\varepsilon_0mgd^{3}}{2l}\right)^{1/2}=\pm2.38\times10^{-9}\ \mathrm{C}$。

12.2 电场强度

一、静电场

两种观点之争：超距作用 vs 场的观点（电荷 $\rightleftharpoons$ 电场 $\rightleftharpoons$ 电荷）。近代证实场的观点正确：电磁场是物质存在的一种形态，具有能量、动量，靠交换场量子（光子）传递作用，传递速度即光速（有限）；但静止电荷的作用不随时间变化，时间效应显示不出。
静电场的对外表现：对场中带电体施电场力；电荷在场中移动时电场力做功。

二、电场强度

试探电荷要求：① 线度小到可视为点电荷；② 电量足够小，不改变原电荷分布。
电场强度定义：$\boldsymbol{E}=\dfrac{\boldsymbol{F}}{q_0}$——大小等于单位试探电荷在该点所受电场力，方向与正电荷受力方向相同；与 $q_0$ 无关，反映电场本身性质
单位：$\mathrm{N\cdot C^{-1}}$ 或 $\mathrm{V\cdot m^{-1}}$。$\boldsymbol{E}$ 一般是空间坐标的函数；大小方向处处相同的称均匀电场。

三、点电荷的电场

$$\boldsymbol{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^{3}}\boldsymbol{r}$$

$q>0$ 时 $\boldsymbol{E}$ 与位矢 $\boldsymbol{r}$ 同向，$q<0$ 反向；点电荷场强呈球对称分布（同一球面上各点 $E$ 大小相等、垂直球面）。

四、电场强度叠加原理

点电荷系：$\boldsymbol{E}=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\boldsymbol{E}_i$——各电荷单独存在时场强的矢量和
连续分布电荷：分成无限小电荷元 $\mathrm{d}q$（当点电荷），

$$\boldsymbol{E}=\int\mathrm{d}\boldsymbol{E}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{\mathrm{d}q}{r^{3}}\boldsymbol{r}$$

其中 $\mathrm{d}q=\rho\ \mathrm{d}V$（体密度 $\rho$）、$\sigma\ \mathrm{d}S$（面密度 $\sigma$）、$\lambda\ \mathrm{d}L$（线密度 $\lambda$）。电荷元”无限小”指宏观上足够小、微观上仍含大量粒子。

方法：场强是矢量，须化为分量（标量）叠加；对称性分析常使某些分量立即抵消为零，大为简化计算。

【例12-2-1】 电偶极子（$-q$、$+q$ 相距 $l$，$r\gg l$；电偶极矩 $\boldsymbol{p}_{\mathrm{e}}=q\boldsymbol{l}$，从 $-q$ 指向 $+q$）→ 对称性矢量合成 → 中垂线 $\boldsymbol{E}=-\dfrac{\boldsymbol{p}_{\mathrm{e}}}{4\pi\varepsilon_0r^{3}}$（与 $\boldsymbol{p}_{\mathrm{e}}$ 反向）；轴线延长线 $\boldsymbol{E}=\dfrac{2\boldsymbol{p}_{\mathrm{e}}}{4\pi\varepsilon_0r^{3}}$（同向）；均 $\propto1/r^{3}$。

【例12-2-2】 均匀带电细圆环（半径 $r$、电量 $q$）轴线上距环心 $x$ 处 → 垂直轴向分量抵消，只积轴向分量 → $\boldsymbol{E}=\dfrac{qx}{4\pi\varepsilon_0(x^{2}+r^{2})^{3/2}}\boldsymbol{i}$；环心 $E=0$；$x=\pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}r$ 处最大；$x\gg r$ 时退化为点电荷公式（点电荷概念的相对性）。

【例12-2-3】 均匀带电薄圆盘（半径 $R$、面密度 $\sigma$）轴线场强 → 分成宽 $\mathrm{d}r$ 的细环带积分 → $E=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}\left(1-\dfrac{x}{\sqrt{R^{2}+x^{2}}}\right)$；$x\ll R$ 时 $E=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$（常量）：无限大均匀带电平面附近为均匀电场，$\boldsymbol{E}$ 垂直平面。

【例12-2-4】 电偶极子在均匀电场 $\boldsymbol{E}$ 中（$\boldsymbol{p}_{\mathrm{e}}$ 与 $\boldsymbol{E}$ 夹角 $\theta$）→ 两电荷受力等大反向，合力为零不平动，构成力偶转动 → $\boldsymbol{M}=\boldsymbol{p}_{\mathrm{e}}\times\boldsymbol{E}$，$M=p_{\mathrm{e}}E\sin\theta$；$\theta=\pi/2$ 最大，$\theta=0$ 或 $\pi$ 为零；$\boldsymbol{p}_{\mathrm{e}}$ 转向与 $\boldsymbol{E}$ 一致。

12.3 高斯定理

一、电场线

定义：曲线上每点切线方向与该点场强方向一致；规定通过垂直于 $\boldsymbol{E}$ 的单位面积的线条数等于该点 $E$ 的量值，以疏密表示场强大小。
静电场电场线特点：① 起自正电荷（或无穷远），止于负电荷（或无穷远），无电荷处不中断；② 不闭合；③ 无电荷处不相交；④ 密处场强大、疏处场强小。
注意：电场线不是电荷的运动轨迹。

二、电通量

通过某面的电场线数称电通量 $\Phi_{\mathrm{e}}$：
- 均匀场、面与 $\boldsymbol{E}$ 垂直：$\Phi_{\mathrm{e}}=ES$；
- 均匀场、面法线 $\boldsymbol{n}$ 与 $\boldsymbol{E}$ 成 $\theta$ 角：$\Phi_{\mathrm{e}}=ES\cos\theta$；
- 非均匀场、任意曲面：$\Phi_{\mathrm{e}}=\displaystyle\int_S E\cos\theta\ \mathrm{d}S$；
- 闭合曲面：$\Phi_{\mathrm{e}}=\displaystyle\oint_S \boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}$（$\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\boldsymbol{n}\ \mathrm{d}S$）。
正负规定：闭合面法线自内向外：电场线穿出（$\theta<90^{\circ}$）为正，穿入（$\theta>90^{\circ}$）为负，相切（$\theta=90^{\circ}$）为零。

【例12-3-1】 均匀电场中的三棱柱各面通量 → 逐面用 $\Phi_{\mathrm{e}}=ES\cos\theta$ → 左端面 $-ES_1$、斜顶面 $ES_1$、其余三面为零 → 闭合面总通量为零（穿入等于穿出）。

三、高斯定理

定理陈述：真空中，通过任何闭合曲面的电通量等于面内所有电荷代数和的 $1/\varepsilon_0$ 倍：

$$\Phi_{\mathrm{e}}=\oint_S \boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\frac{1}{\varepsilon_0}\sum_i q_i$$

验证思路：点电荷位于球心，$\Phi_{\mathrm{e}}=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0r^{2}}\cdot4\pi r^{2}=\dfrac{q}{\varepsilon_0}$，与半径无关；任意形状闭合面包围点电荷仍为 $q/\varepsilon_0$（与形状无关）；闭合面不包围点电荷则穿入穿出相抵、通量为零；推广到面内多点电荷取代数和。包围电荷的闭合曲面称高斯面。
两点注意（易错）：
- 式中高斯面上的 $\boldsymbol{E}$ 由面内、外所有电荷共同产生；
- 只有面内电荷对该闭合面的通量有贡献（面外电荷的场线穿入又穿出，通量代数和为零）。
三点需要指出：
- 高斯定理以电通量表示电场与场源电荷的关系；研究运动电荷或随时间变化的电场时库仑定律失效而高斯定理仍成立，故它是电场的基本规律；
- 静电场范围内库仑定律与高斯定理等价，可互推；高斯定理成立基于平方反比律（$r$ 的指数为 2）；
- 电荷分布有空间对称性时用高斯定理求场强最方便，步骤：① 分析对称性；② 选适当高斯面；③ 代入求解，关键在①②。

四、高斯定理应用举例

【例12-3-2】 均匀带电球体（半径 $R$、体密度 $\rho$、总电量 $q$）→ 球对称，取同心球面为高斯面，面上各点 $E$ 相等且沿径向，$E\cdot4\pi r^{2}=\dfrac{1}{\varepsilon_0}\sum q_i$ →

$$\boldsymbol{E}=\begin{cases}\dfrac{q\ \boldsymbol{r}}{4\pi\varepsilon_0R^{3}} & (r\leqslant R)\cr\dfrac{q\ \boldsymbol{r}}{4\pi\varepsilon_0r^{3}} & (r\geqslant R)\end{cases}$$

球外相当于电荷集中于球心的点电荷的场；球内 $E\propto r$。$E$–$r$ 图线：球内线性上升，$r=R$ 处最大 $E_{\max}=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0R^{2}}$，球外按 $1/r^{2}$ 衰减，曲线在 $R$ 处连续无突变。

【例12-3-3】 无限长均匀带电细棒（线密度 $\lambda$），距棒 $a$ 处场强 → 轴对称，取高 $l$、半径 $a$ 的同轴圆柱面为高斯面；侧面 $E$ 处处相等沿径向，上下底面通量为零，$E\cdot2\pi al=\dfrac{\lambda l}{\varepsilon_0}$ → $E=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 a}$，沿径向（$\lambda>0$ 背离棒）。

【例12-3-4】 无限大均匀带电平面（面密度 $\sigma$）→ 平面对称，取侧面垂直平面、两底与平面平行等距（面积 $S$）的圆柱面为高斯面；侧面通量为零，两底各 $ES$，$2ES=\dfrac{\sigma S}{\varepsilon_0}$ → $E=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$，两侧对称、垂直平面（$\sigma>0$ 指向外），为匀强电场。

典型结论（熟记）：无限长均匀带电直线外 $E=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 a}$；无限大均匀带电平面附近 $E=\dfrac{\sigma}{2\varepsilon_0}$；均匀带电球体球外 $E=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0r^{2}}$、球内 $E=\dfrac{qr}{4\pi\varepsilon_0R^{3}}$
两块平行的”无限大”带电平面（面密度大小相等）叠加结果：

两板带电情形	两板之间场强	两板外侧场强
均为 $+\sigma$	$0$	$\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}$（各自背离板面向外）
一板 $+\sigma$、另一板 $-\sigma$	$\dfrac{\sigma}{\varepsilon_0}$（由正板指向负板）	$0$

方法小结：对称情况下用高斯定理求场强的关键是对称性分析和高斯面的合理选取，选面原则是使通过它的通量能方便写出。

12.4 静电场的环路定理电势

研究路线：前面由”受力”以 $\boldsymbol{E}$ 描述电场，得高斯定理，揭示静电场是有源场；本节由”电场力做功”以电势 $U$ 描述电场，得环路定理，揭示静电场是保守力场。

一、静电场的环路定理

电场力的功：$q_0$ 从 $a$ 沿任意路径到 $b$：$A_{ab}=q_0\displaystyle\int_a^b\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}$。
点电荷场中：$A_{ab}=\dfrac{q_0q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{1}{r_a}-\dfrac{1}{r_b}\right)$（$r_a$、$r_b$ 为始终点到场源距离），只与始末位置及 $q_0$ 有关，与路径无关。
推广到任何静电场：场强为各点电荷场强矢量和，积分逐项与路径无关，总功与路径无关——静电场的保守性；电场力是保守力，静电场是保守场。
静电场的环路定理：$q_0$ 沿闭合路径一周电场力做功为零，由 $q_0\neq0$ 得

$$\oint \boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=0$$

$\boldsymbol{E}$ 沿闭合回路的线积分称环流；环流恒为零是静电场保守性的另一表述，与”做功与路径无关”等价

二、电势

静电势能：保守力场可引入势能；电场力做正功静电能减少、做负功增加。$q_0$ 从 $a$ 到 $b$：$W_a-W_b=A_{ab}=q_0\displaystyle\int_a^b\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}$。静电能量值相对（与零点选择有关）；场源为有限带电体时常取无限远为零点（$W_{\infty}=0$），则 $W_a=q_0\displaystyle\int_a^{\infty}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}$。静电能属于系统，是试验电荷与电场的相互作用能。
电势定义：$W_a/q_0$ 与 $q_0$ 无关、仅由电场决定：

$$U_a=\frac{W_a}{q_0}=\int_a^{\infty}\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}$$

（无限远为零点；若取 $b$ 为零点则 $U_a=\displaystyle\int_a^b\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}$）。物理意义：等于单位正电荷在该点的静电能，或把单位正电荷从该点沿任意路径移到零点时电场力做的功。电势是标量（有正负），单位 $\mathrm{J\cdot C^{-1}}$ 即伏特（V）

电势的相对性：电势值只有相对意义，须选参考点（同一问题只能取同一参考点）。有限带电体理论计算常取无限远；“无限大”带电体只能在场内取适当位置；工程上常取地球（或电器外壳）。电势是空间坐标的标量函数 $U=U(x,y,z)$。
电势差（电压）：$U_{ab}=U_a-U_b=\displaystyle\int_a^b\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}$，等于把单位正电荷从 $a$ 经任意路径移到 $b$ 电场力做的功；电势差完全确定，与零点选择无关。
电场力做功常用公式：$A_{ab}=q_0(U_a-U_b)=q_0U_{ab}$。
电子伏特：电子经 $1\ \mathrm{V}$ 电势差加速获能 $1.60\times10^{-19}\ \mathrm{J}$，作为能量单位 $1\ \mathrm{eV}=1.60\times10^{-19}\ \mathrm{J}$；$1\ \mathrm{MeV}=10^{6}\ \mathrm{eV}$，$1\ \mathrm{GeV}=10^{9}\ \mathrm{eV}$。

三、电势的计算

点电荷（无限远零点）：$U=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0r}$，与 $q$ 成正比、与 $r$ 成反比；此零点下正点电荷电势恒正、负点电荷电势恒负。
点电荷系——电势叠加原理：$U=\displaystyle\sum_{i=1}^{n}U_i=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\dfrac{q_i}{r_i}$——各电荷单独产生电势的代数和（区别于场强的矢量和）
任意带电体：$U=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\displaystyle\int\dfrac{\mathrm{d}q}{r}$（$r$ 为 $\mathrm{d}q$ 到场点的距离）。
两条计算路线：知电荷分布不知场强 → 直接用积分式；电荷分布有对称性 → 先用高斯定理求 $\boldsymbol{E}$，再由定义式积分求 $U$。

【例12-4-1】 均匀带电球体（$R$、$q$）的电势 → 先由高斯定理得场强，再沿径向分段积分 → $U_{内}=\dfrac{q(3R^{2}-r^{2})}{8\pi\varepsilon_0R^{3}}\ (r<R)$；$U_{面}=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0R}$；$U_{外}=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0r}$——球外等同于电荷集中于球心的点电荷。球内电势随 $r$ 减小而增大，球心最大 $\dfrac{3q}{8\pi\varepsilon_0R}$（球面的 $1.5$ 倍），全空间电势连续。

【例12-4-2】 无限长均匀带电直线（$\lambda$）的电势 → 不能取无限远为零点，先求电势差 $U_P-U_Q=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln\dfrac{r’}{r}$，取 $r’=1\ \mathrm{m}$ 处为零点 → $U_P=-\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln r$（$r>1\ \mathrm{m}$ 为负，$r<1\ \mathrm{m}$ 为正）。要点：只有电势差有绝对意义，各点电势值只有相对意义；无限长带电直线的电势叠加式与无限远零点定义式均因积分发散而失效。

12.5 电场强度与电势梯度的关系

一、等势面

等势面：电场中电势相等的点构成的曲面；约定相邻等势面间电势差相等。点电荷电场的等势面是以点电荷为中心的同心球面。
等势面与电场线的关系：① 处处正交（沿等势面移动电荷 $\mathrm{d}A=q_0E\ \mathrm{d}l\cos\theta=q_0\ \mathrm{d}U=0$，故 $\theta=\pi/2$）；② 电场线指向电势降落的方向；③ 等势面与电场线密集处场强大、稀疏处场强小。
实际意义：等势面便于实验测定描绘，据此分析和控制电场分布。

二、场强与电势的微分关系

推导要点：取两相邻等势面 $U$、$U+\mathrm{d}U$（$\mathrm{d}U>0$），沿法向单位矢量 $\boldsymbol{e}_{\mathrm{n}}$ 积分得 $-\mathrm{d}U=E_{\mathrm{n}}\ \mathrm{d}n$：

$$E_{\mathrm{n}}=-\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}n}$$

沿任意方向 $\boldsymbol{l}$：$E_l=-\dfrac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}l}$——场强沿某方向的分量等于电势沿该方向方向导数的负值。

电势梯度矢量 $\mathrm{grad}\ U=\nabla U$：大小等于电势在该点的最大空间变化率（法向方向导数最大），方向沿等势面法向、指向电势增加方向。
场强与电势的微分关系：

$$\boldsymbol{E}=-\frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}n}\boldsymbol{e}_{\mathrm{n}}=-\mathrm{grad}\ U=-\nabla U$$

负号表示场强沿电势降落的方向

直角坐标分量式：$E_x=-\dfrac{\partial U}{\partial x}$，$E_y=-\dfrac{\partial U}{\partial y}$，$E_z=-\dfrac{\partial U}{\partial z}$。
应用与注意：可先由标量积分求 $U$、再求微商得 $\boldsymbol{E}$，比直接矢量积分简便；某点场强只决定于该点附近电势的空间变化率，与该点电势值本身无直接关系。电势梯度单位 $\mathrm{V\cdot m^{-1}}$，场强亦常用。
物理评注：经典观点认为只有场强对电荷运动有影响、电势只是数学工具；近代物理表明空间电势能影响电子波（波粒二象性）的相位，故电势也是物理实在，且在某种意义上比场强更基本。

【例12-5-1】 均匀带电细圆环（$R$、$q$）轴线上距环心 $x$ 处 → 各电荷元到场点距离均为 $\sqrt{R^{2}+x^{2}}$，用 $U=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\displaystyle\int\dfrac{\mathrm{d}q}{r}$ → $U=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0\sqrt{R^{2}+x^{2}}}$；再 $E_x=-\dfrac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}x}$ → $E=\dfrac{qx}{4\pi\varepsilon_0(x^{2}+R^{2})^{3/2}}$，与直接积分一致（先求 $U$ 再求导更简便）。

【例12-5-2】 电偶极子场中任一点（$r\gg l$，$\boldsymbol{r}$ 与轴线夹角 $\theta$，$p=ql$）→ 电势叠加 $U=\dfrac{q(r_—r_+)}{4\pi\varepsilon_0r_+r_-}\approx\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{p\cos\theta}{r^{2}}$，坐标式 $U=\dfrac{p}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{x}{(x^{2}+y^{2})^{3/2}}$；求偏导合成 → $E=\dfrac{p}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{(4x^{2}+y^{2})^{1/2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}$；特例：中垂线 $E=\dfrac{p}{4\pi\varepsilon_0y^{3}}$，轴线 $E=\dfrac{2p}{4\pi\varepsilon_0x^{3}}$。

13.1 静电场中的导体

按导电性分类：导体（电荷能迅速传遍整块物体，如金属、酸碱盐溶液）、电介质（绝缘体）（电荷只停留在带电部分，如玻璃、瓷器、纯水、干燥空气，因难导电而易带电）、半导体（介于两者之间）。
金属导电机制：负电自由电子（无规则热运动）+ 正电晶体点阵；不带电且无外场时正负电荷均匀分布、无宏观移动，处处电中性。

一、导体的静电平衡

静电感应：导体放入外电场，自由电子做宏观定向运动、电荷重新分布，直到感应电荷的附加电场完全抵消外电场，宏观运动停止；表面出现的电荷称感应电荷。
静电平衡状态：不论导体是否带电或有无外场，内部和表面都无电荷宏观定向运动的状态。
静电平衡条件：① 导体内部场强处处为零（$E_{内}=0$）；② 表面场强垂直于表面（切向分量 $E_t=0$）。电势表述：导体是等势体，表面为等势面
注意：导体内 $E=0$、整体等势，是空间中所有电荷（导体上的和导体外的）共同贡献，非仅由自身电荷决定。

静电平衡时的电荷分布：

电荷只分布在表面：导体内围绕任一点作小闭合面，由高斯定理面内电荷代数和为零；面可任意小，故内部无净电荷。
表面电荷面密度正比于该处表面近邻场强：扁圆柱高斯面（一底在导体内、一底在表面外，仅外底有通量）： $$E\Delta S=\frac{\sigma\Delta S}{\varepsilon_0}\quad\Rightarrow\quad \sigma=\varepsilon_0 E$$ $\sigma$：电荷面密度（C·m⁻²）；$E$：表面近邻场强（V·m⁻¹）
曲率关系：曲率半径越小（越尖锐）$\sigma$ 越大，平坦处较小，凹处（曲率半径为负）更小；孤立导体（离其他物体很远）为球形时电荷均匀分布，不规则导体尖端处 $\sigma$ 最大、附近场最强。
尖端放电：尖端附近场强特强，使空气残留离子激烈运动：同号离子被急速排斥离去形成”电风”，异号离子趋向尖端与电荷中和使其漏失；离子碰撞中性原子可使之受激发光（如阴雨天高压输电线旁淡蓝色电晕）。危害：损耗电能、干扰精密测量与通讯（高压设备金属件应光滑、避免尖棱）；应用：避雷针、起电机、场离子显微镜（FIM）等。

二、空腔导体和静电屏蔽

腔内无带电体：腔内场强为零，整个腔体是等势体；导体带电时电荷只在外表面，内表面无电荷（内外表面间作高斯面知内表面净电荷为零；反证法：若内表面有正有负，腔内场线将造成内、外表面间电势差，与等势体矛盾）。

腔内有带电体：

导体（壳）中场强为零；
内表面电荷与腔内带电体电荷等量异号（高斯定理）；壳原不带电时外表面必感应出等量同号电荷（电荷守恒）；
腔内电场由腔内带电体决定，腔外电场只由外表面电荷决定；
壳接地后，腔内带电体电荷的变化不再影响壳外电场。
静电屏蔽：导体壳（不论是否接地）内部电场不受壳外电荷影响；接地导体壳的外部电场不受壳内电荷影响
应用：① 仪器封闭在金属壳（网）内屏蔽外场，接地后壳内电场也不影响外部；② 屏蔽线——弱信号导线外编织金属丝；③ 高压带电作业屏蔽服——导电纤维织成连体导体网壳，人体相当于置于空腔导体内部，电场不能深入人体，感应电流只流过屏蔽服，接触电线瞬间放电只发生在手套与电线间，之后人体与电线等电势。
接地导体电荷：接地导体静电平衡时表面电荷不一定都为零，不受其他带电体影响时才为零

【例13-1-1】 题目大意：外半径 $R_1$、内半径 $R_2$ 金属球壳内同心放半径 $R_3$（$R_3<R_2<R_1$）金属球，各带电 $q$，求电荷分布与电势 → 思路：壳内表面感应 $-q$、外表面共带 $2q$ 且均匀分布；高斯定理分区求 $E$（导体内为零，两球间由 $q$、壳外由 $2q$ 决定），沿径向积分 → 结果：$U_0=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{1}{R_3}-\dfrac{1}{R_2}+\dfrac{2}{R_1}\right)$，$U_1=\dfrac{q}{2\pi\varepsilon_0 R_1}$

【例13-1-2】 题目大意：不带电金属球（半径 $R$）旁距球心 $r$ 处有点电荷 $+q$，求感应电荷在球心的场与球心电势、接地后净电荷 → 思路：静电平衡时球内合场为零，$\boldsymbol{E}’=-\boldsymbol{E}_q$；各感应电荷元到球心均距 $R$，在球心电势为零 → 结果：$\boldsymbol{E}’$ 大小 $\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}$、指向点电荷；$U_0=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0 r}$；接地后 $q_1=-\dfrac{R}{r}q$（$|q_1|<q$）

13.2 静电场中的电介质

电介质特征：电子被核束缚很紧，只能在原子范围内移动；外电场只使分子中正负电荷发生微观相对运动。把分子简化为电偶极子：介质极化出现极化电荷，其附加电场又反作用于介质，直至静电平衡。

一、电介质的极化

有极分子：正负电荷中心不重合，分子电矩 $\boldsymbol{p}_{\mathrm{e}}=q\boldsymbol{l}$（$q$ 为正/负电荷电量，$\boldsymbol{l}$ 由负电中心指向正电中心），如 HCl、H₂O、NH₃、CH₃OH；无外场时热运动使电矩排列杂乱，宏观不显电性。
无极分子：正负电荷中心重合，$\boldsymbol{p}_{\mathrm{e}}=0$，如 He、H₂、CH₄。
位移极化（无极分子）：外电场把正负电荷中心拉开相对位移 $\boldsymbol{l}$，分子成为电矩沿外场的电偶极子，垂直外场的两侧表面出现正负电荷。
取向极化（有极分子）：分子电矩受力偶矩转向外场，热运动使其不能完全整齐（外场愈强排列愈齐），正负电荷中心也被进一步拉开；表面出现束缚电荷。
束缚电荷（极化电荷）：与介质分子连在一起，不能在介质中自由移动、不能脱离介质独立存在；外电场使介质出现束缚电荷的现象称电介质的极化。

二、电极化强度

定义：某点单位体积内分子电矩矢量和的极限 $$\boldsymbol{P}=\lim_{\Delta V\to0}\frac{\sum_i\boldsymbol{p}_{\mathrm{e}i}}{\Delta V}$$ 矢量，单位 C·m⁻²；两类介质微观过程不同、宏观效果相同，统一用 $\boldsymbol{P}$ 描述。
实验规律：各向同性介质中每点 $\boldsymbol{P}$ 与该点总场强 $\boldsymbol{E}$ 成正比、同向： $$\boldsymbol{P}=\chi_{\mathrm{e}}\varepsilon_0\boldsymbol{E}$$ $\chi_{\mathrm{e}}$：电极化率，无量纲纯数，与场强无关、仅由介质种类决定；$\chi_{\mathrm{e}}=\varepsilon_{\mathrm{r}}-1$。
极化电荷面密度：分子数密度 $n$、电矩 $q\boldsymbol{l}$，$\boldsymbol{P}=nq\boldsymbol{l}$；面元 $\mathrm{d}S$ 外法线与 $\boldsymbol{P}$ 夹角 $\theta$ 时，移出面元的极化电荷 $\mathrm{d}q’=P\ \mathrm{d}S\cos\theta$，故 $$\sigma’=P\cos\theta=P_{\mathrm{n}}$$ 即该处 $\boldsymbol{P}$ 沿外法线的投影（有极分子介质同样适用）；$\theta$ 锐角出现正极化电荷，钝角出现负。
$\boldsymbol{P}$ 的通量：$\mathrm{d}q’=\boldsymbol{P}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}$ 称元通量，量值等于移出该面元的极化电荷；穿出闭合面的 $\boldsymbol{P}$ 通量等于面内极化电荷总量的负值（电荷守恒）： $$\oint_S\boldsymbol{P}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=-\sum_{(S内)}\mathrm{d}q’$$

【例13-2-1】 题目大意：均匀极化介质球（$\boldsymbol{P}$ 沿轴）表面极化电荷分布 → 思路：$\sigma’=P\cos\theta$（$\theta$ 为 $\boldsymbol{P}$ 与外法线夹角）→ 结果：不均匀分布——右半球为正、左半球为负，赤道处为零，两极处绝对值最大

三、有电介质时的场强

合场强：任一点场强 = 自由电荷的 $\boldsymbol{E}_0$ + 极化电荷的 $\boldsymbol{E}’$： $$\boldsymbol{E}=\boldsymbol{E}_0+\boldsymbol{E}’$$
退极化场：介质内 $\boldsymbol{E}’$ 总与 $\boldsymbol{E}_0$ 反向、使合场减弱；决定极化程度的是合场强 $\boldsymbol{E}$ 而非 $\boldsymbol{E}_0$，附加场起削弱极化作用，故称退极化场。
平行板特例：极板自由电荷面密度 $\pm\sigma_0$ 不变，间充 $\varepsilon_{\mathrm{r}}$ 均匀介质，端面极化电荷 $\pm\sigma’$： $$E=E_0-\frac{\sigma’}{\varepsilon_0}=E_0-\chi_{\mathrm{e}}E\quad\Rightarrow\quad E=\frac{E_0}{1+\chi_{\mathrm{e}}}=\frac{E_0}{\varepsilon_{\mathrm{r}}}$$ $\varepsilon_{\mathrm{r}}=1+\chi_{\mathrm{e}}$ 为相对电容率。
结论与推广：充满电场空间的各向同性均匀介质中场强为真空的 $1/\varepsilon_{\mathrm{r}}$ 倍、方向一致；推广：无限大均匀介质中点电荷 $\boldsymbol{E}=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r}}}\dfrac{\boldsymbol{r}}{r^3}$，无限长带电直线 $E=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r}}r}$。
成立条件：仅当均匀各向同性介质充满整个电场空间，或介质表面是等势面时成立（如匀强场中介质球不满足）。
与导体对比：导体内自由电荷重新分布可使附加场与外场等值反向、内部总场为零；介质束缚电荷只能在原子范围内移动、数量远少于感应电荷，$\boldsymbol{E}’$ 总小于 $\boldsymbol{E}_0$、只能部分削弱——介质内部 $E<E_0$，但不会为零

*四、铁电体压电体永电体（选学）

铁电体：$\boldsymbol{P}$ 与 $\boldsymbol{E}$ 呈复杂非线性关系，电容率随场强变化，撤去外场后留剩余极化（类比铁磁体），如钛酸钡（BaTiO₃）、酒石酸钾钠单晶。
电滞回线：钛酸钡低于 120 ℃ 时 $\boldsymbol{P}$ 落后于 $\boldsymbol{E}$：强场下极化达饱和（$P_{\mathrm{s}}$），$E=0$ 时有剩余极化（$P_{\mathrm{r}}$），$\boldsymbol{E}$ 周期变化时 $\boldsymbol{P}$-$\boldsymbol{E}$ 形成回线；$\varepsilon_{\mathrm{r}}$ 非常量，宽范围内可达数千以上。
压电效应：离子型晶体（石英、电气石、酒石酸钾钠、钛酸钡等）机械变形（拉伸、压缩）时产生电极化；逆现象为电致伸缩（晶体带电或在电场中时伸缩）。应用：压电石英高频振荡器、获取超声波。
永电体（驻极体）：撤去外界条件后长期保留极化状态且不受外电场影响；分割后每块表面都同时保持正负电荷（类似永磁体）。应用：麦克风、耳机换能器、静电空气过滤。

13.3 有电介质时静电场的高斯定理

一、电位移矢量 D

推广：有介质时高斯面包围自由电荷 $\sum_i q_i$ 与束缚电荷 $\sum_i q_i’$： $$\oint_S\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\frac{1}{\varepsilon_0}\left(\sum_i q_i+\sum_i q_i’\right)$$
极化电荷难以求得，代入 $\oint_S\boldsymbol{P}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=-\sum q_i’$ 整理： $$\oint_S(\varepsilon_0\boldsymbol{E}+\boldsymbol{P})\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\sum_i q_i$$
电位移矢量定义（普适）： $$\boldsymbol{D}=\varepsilon_0\boldsymbol{E}+\boldsymbol{P}$$ 描述电场的辅助量，单位 C·m⁻²，对各向同性与各向异性介质均适用。
有介质时的高斯定理： $$\oint_S\boldsymbol{D}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\sum_i q_i$$ 通过任一闭合面的电位移通量等于面内自由电荷代数和；$\boldsymbol{D}$ 线起讫于正、负自由电荷（$\boldsymbol{E}$ 线起讫于自由与束缚电荷、介质内变稀；$\boldsymbol{P}$ 线仅在介质内、起讫于极化电荷；$\boldsymbol{D}$ 线连续贯穿）
电介质的性质方程：对各向同性介质，由 $\boldsymbol{P}=\chi_{\mathrm{e}}\varepsilon_0\boldsymbol{E}$ 得 $$\boldsymbol{D}=\varepsilon_0(1+\chi_{\mathrm{e}})\boldsymbol{E}=\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r}}\boldsymbol{E}=\varepsilon\boldsymbol{E}$$ 仅适用于各向同性均匀介质；各点 $\boldsymbol{D}$ 与 $\boldsymbol{E}$ 同向、$D=\varepsilon E$。$\varepsilon_{\mathrm{r}}$ 相对电容率（无量纲）；$\varepsilon=\varepsilon_0\varepsilon_{\mathrm{r}}$（绝对）电容率，单位同 $\varepsilon_0$。

二、有介质时高斯定理的应用

思路：自由电荷有对称性 → 高斯定理求 $\boldsymbol{D}$ → $\boldsymbol{D}=\varepsilon\boldsymbol{E}$ 求 $E$；与真空类同，只需 $\varepsilon_0\to\varepsilon$。如半径 $R$、电荷 $q$ 的导体球置于无限大均匀介质中：束缚电荷均匀分布在紧贴球面的介质同心球面上，总场仍球对称。
【例13-3-1】 题目大意：无限长同轴电缆，内外导体半径 $r_1<r_2$，单位长度电荷 $+\lambda$、$-\lambda$，间充电容率 $\varepsilon$ 的介质 → 思路：同轴圆柱高斯面（两底面无通量），$D\cdot2\pi rl=\lambda l$ → 结果：$D=\dfrac{\lambda}{2\pi r}$，$E=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon r}$，$U_A-U_B=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon}\ln\dfrac{r_2}{r_1}$
【例13-3-2】 题目大意：面密度 $\pm\sigma_0$ 的平行板间平行充两层介质（$\varepsilon_{r1},\varepsilon_{r2}$，厚 $d_1,d_2$）→ 思路：一底在金属板内、一底在介质中的圆柱高斯面（金属内 $D=0$）→ 结果：$D_1=D_2=\sigma_0$（电位移连续、场强不连续），$E_i=\dfrac{\sigma_0}{\varepsilon_0\varepsilon_{ri}}$，$U_A-U_B=\dfrac{\sigma_0}{\varepsilon_0}\left(\dfrac{d_1}{\varepsilon_{r1}}+\dfrac{d_2}{\varepsilon_{r2}}\right)$

13.4 电容电容器

一、孤立导体的电容

定义：孤立导体电势与其所带电荷成正比，比值定义为电容： $$C=\frac{Q}{U}$$
性质：对同一导体是恒量——只与导体大小、形状有关，与材料无关、与是否带电无关；数值上等于使导体得到单位电势所需给予的电荷，表征导体容电本领。
单位：法拉（F），$1\ \mathrm{F}=1\ \mathrm{C\cdot V^{-1}}$。孤立导体球 $C=4\pi\varepsilon_0 R$：$C=1\ \mathrm{F}$ 需 $R=9\times10^9\ \mathrm{m}$（比地球半径大 1400 多倍；地球作孤立导体电容仅约 $7\times10^{-4}\ \mathrm{F}$）——法拉很大，常用 $1\ \mu\mathrm{F}=10^{-6}\ \mathrm{F}$、$1\ \mathrm{pF}=10^{-12}\ \mathrm{F}$。

二、电容器

为什么需要电容器：周围有其他导体时因静电感应，感应电荷随外界带电情况改变所考察导体的电势——非孤立导体电荷与电势不成正比；以静电屏蔽原理作导体组合即成电容器（最早为 1746 年发明的莱顿瓶）。
电容定义：两金属极板 + 其间电介质，常使两板带等量异号电荷；电容 = 一极板电荷绝对值 $q$ 与两板电势差（不是某一极板的电势）之比： $$C=\frac{q}{U_A-U_B}$$
计算步骤：① 设两板分别带 $+q$、$-q$；② 求板间 $\boldsymbol{E}$ 并积分得 $U_A-U_B$；③ 由定义式求 $C$。

【例13-4-1】 题目大意：平行板电容器（板面积 $S$、内表面间距 $d$，线度远大于 $d$）→ 思路：忽略边缘效应，$E=\sigma/\varepsilon_0$，$U_A-U_B=qd/(\varepsilon_0S)$ → 结果：真空 $C_0=\varepsilon_0\dfrac{S}{d}$，充满介质 $C=\varepsilon\dfrac{S}{d}$，$C/C_0=\varepsilon_r$

充介质的影响：$d$ 小、$S$ 大可得大电容；除空气 $\varepsilon_r\approx1$ 外一般介质 $\varepsilon_r>1$（钛酸钡可达数千）；对任何电容器，充满 $\varepsilon_r$ 的均匀介质后电容总增至 $\varepsilon_r$ 倍
应用：$S$、$d$、$\varepsilon$ 任一量变化都引起 $C$ 变化——电容式传感器（测位移、液面高度、压强、流量）及电容测厚仪。

【例13-4-2】 题目大意：球形电容器（同心球壳 $R_A<R_B$，间充介质）→ 思路：外壳外表面正电荷可接地消除；高斯定理 $E=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon r^2}$，$U_A-U_B=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon}\left(\dfrac{1}{R_A}-\dfrac{1}{R_B}\right)$ → 结果：$C=4\pi\varepsilon\dfrac{R_AR_B}{R_B-R_A}$；$d=R_B-R_A\ll R_A$ 时退化为平行板公式 $C=\varepsilon S/d$（$S=4\pi R^2$）；$R_B\gg R_A$ 时 $C=4\pi\varepsilon R_A$（孤立导体球在介质中的电容）

【例13-4-3】 题目大意：圆柱形电容器（导线半径 $R_1$、同轴圆筒内半径 $R_2$、长 $l$，充介质）→ 思路：单位长度带电 $\pm\lambda$，$E=\dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon r}$ → 结果：$C=2\pi\varepsilon\dfrac{l}{\ln\dfrac{R_2}{R_1}}$；$d=R_2-R_1\ll R_1$ 时同样退化为 $C=\varepsilon S/d$（$S=2\pi R_1l$）

三、电容器的串联和并联

耐压与击穿：电容器两性能指标——电容与耐压（极板能承受的电压值）；超过耐压则介质中场强过大，电介质被击穿（失去绝缘性变导体）而损坏。
等值电容：电容器组所容纳电荷与两端电势差之比。
串联：各电容器靠静电感应所带电荷量相同（均为 $q$），电压按 $q/C_i$ 分配、相加得 $$\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\cdots+\frac{1}{C_n}$$ 总电容变小，但各电容器电压小于总电压——耐压程度提高（串联的优点）
并联：各电容器电压相同（均为 $U_A-U_B$），电荷相加得 $$C=C_1+C_2+\cdots+C_n$$ 总电容增大，但各电容器电压与单独使用时相同——耐压程度不变。（实际还有串并联混合使用。）

13.5 静电场的能量

总思路：带电过程是正负电荷的分离过程，外力克服电场力做功转化为静电能储存在电场中；规定电荷相距无限远时静电能为零。

一、点电荷系统的电能

两点电荷：把 $q_1$、$q_2$ 依次从无限远移至相距 $r$ 的两点，外力做的功即系统电能，又称相互作用能： $$W=\frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0 r}$$ 对称形式 $W=\dfrac{1}{2}q_1U_1+\dfrac{1}{2}q_2U_2$（$U_1$、$U_2$ 为另一电荷在 $q_1$、$q_2$ 处产生的电势），与移动顺序无关。
能量正负：同号电荷能量为正——形成过程中外力做正功；异号为负——电场力做正功。
三点电荷系统：依次移来，外力总功给出电能，对称形式 $W=\dfrac{1}{2}q_1U_1+\dfrac{1}{2}q_2U_2+\dfrac{1}{2}q_3U_3$（$U_1$ 为 $q_2,q_3$ 在 $q_1$ 处的电势，余类推）。
$n$ 个点电荷系统： $$W=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{n}q_iU_i$$ $U_i$ 是除 $q_i$ 外其他所有点电荷在 $q_i$ 处产生的电势；系数 $\frac{1}{2}$ 因每对电荷能量重复计算两次；对真空和介质都成立（有介质时 $q_i$ 仍为自由电荷，$U_i$ 取有介质时的电势）。
电荷连续分布： $$W=\frac{1}{2}\int_V U\rho\ \mathrm{d}V,\qquad W=\frac{1}{2}\int_S U\sigma\ \mathrm{d}S,\qquad W=\frac{1}{2}\int_l U\lambda\ \mathrm{d}l$$ 分别对应体、面、线分布；$U$ 是整个带电体电场在该元处的电势；积分遍及所有存在电荷的空间。
相互作用能与自能：点电荷系公式仅含电荷间相互作用能，不含各点电荷自身的固有能量（自能）；带电体系总静电能 = 各带电体固有能量 + 相互作用能；连续分布各式给出的即总能量。

二、电容器的能量

充电推导：某时刻极板电荷 $q_i$、电势差 $q_i/C$，移动电荷元 $\mathrm{d}q_i$ 外力做功 $\dfrac{q_i}{C}\mathrm{d}q_i$，从 0 充到 $q$ 积分（对各种电容器都正确）： $$W=\frac{1}{2}\frac{q^2}{C}=\frac{1}{2}C(U_A-U_B)^2=\frac{1}{2}q(U_A-U_B)$$ $q$ 为一极板电荷绝对值（C）、$C$（F）、$U_A-U_B$（V），$W$ 单位 J

三、电场能量

依据：能量能以电磁波形式以有限速度在空间传播，证明带电系统的能量分布在电场空间中。
由平行板电容器导出：代入 $C=\varepsilon S/d$、$E=(U_A-U_B)/d$、电场体积 $V=Sd$： $$W=\frac{\varepsilon E^2}{2}V$$ 能量与电场体积成正比——电能储存在电场中。
电场能量密度：某点单位体积内的电场能量 $$w_e=\frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}V}=\frac{\varepsilon E^2}{2}=\frac{DE}{2}$$ 单位 J·m⁻³（$D=\varepsilon E$）；虽由均匀场导出但普遍适用——任意非均匀场中知某点 $\varepsilon$、$E$（或 $D$）即得该点能量密度
物理意义：能量不能与物质分割——电场具有能量，证明电场也是一种物质。

四、电场能量的计算

方法：把电场分成小体积元 $\mathrm{d}V$（视为均匀），$\mathrm{d}W=w_e\ \mathrm{d}V=\dfrac{1}{2}\varepsilon E^2\mathrm{d}V$，对全空间积分： $$W=\int_V\frac{1}{2}\varepsilon E^2\ \mathrm{d}V$$
关键：选取合适的 $\mathrm{d}V$ 使其中各点 $E$（从而 $w_e$）相等，才能把 $E$ 提出积分号外。

【例13-5-1】 题目大意：$R=10\ \mathrm{cm}$ 金属球带电 $q=1.0\times10^{-5}\ \mathrm{C}$，处 $\varepsilon_r=2$ 的无限大介质中，求电场能量 → 思路：方法一，$E=\dfrac{q}{4\pi\varepsilon r^2}$，$w_e=\dfrac{\varepsilon E^2}{2}$，取球壳层 $\mathrm{d}V=4\pi r^2\mathrm{d}r$ 积分得 $W=\dfrac{q^2}{8\pi\varepsilon R}$；方法二，$C=4\pi\varepsilon R$，$W=q^2/2C$ → 结果：$W=2.25\ \mathrm{J}$

【例13-5-2】 题目大意：空气平板电容器 $C=1.0\times10^{-12}\ \mathrm{F}$ 充电至 $Q=1.0\times10^{-6}\ \mathrm{C}$ 后切断电源，求 $U_{AB}$ 与能量；再把板距由 $d$ 拉到 $2d$，能量变化 → 思路：$U_{AB}=q/C=1.0\times10^6\ \mathrm{V}$，$W=\frac{1}{2}CU_{AB}^2=0.5\ \mathrm{J}$；断电后 $q$ 不变，$C’=C/2$，$\Delta W=+0.5\ \mathrm{J}$ → 结果：能量增加，由外力克服极板间静电引力做功转换而来

思考（教材”试问”）：断电后与极板平行插入厚 $t$ 的大铜板，电场能量如何变化？
1820 年奥斯特发现电流的磁效应；运动电荷周围不仅有电场，还有磁场，磁场只对运动电荷施加作用，对静止电荷毫无影响。本章讨论恒定电流激发磁场的规律和性质。

14.1 恒定电流

一、电流电流密度

载流子：自由电子、质子、正负离子等带电粒子，其定向运动形成传导电流；规定正电荷由高电势向低电势移动的方向为电流方向（金属中电子反向移动）。
电流强度：$I=\dfrac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}$——单位时间通过导体截面的电荷量；大小方向均不随时间变化者称恒定电流。电流是标量；SI 中电流为基本量，单位安培（A）。大块导体中各处电流可不同，用电流线（仿电场线）表示流向、疏密表示大小。
电流密度 $\boldsymbol{j}$（矢量）：方向沿该点正电荷运动方向（即该点 $\boldsymbol{E}$ 方向），大小等于通过垂直于电流方向单位面积的电流：$\boldsymbol{j}=\dfrac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}S_{\perp}}\boldsymbol{n}$，单位 $\mathrm{A\cdot m^{-2}}$；通过任一截面 $I=\int_S \boldsymbol{j}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}$。

二、电流的连续性方程恒定电流条件

由电荷守恒定律得连续性方程 $\oint_S \boldsymbol{j}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=-\dfrac{\mathrm{d}Q_i}{\mathrm{d}t}$：单位时间流出的电荷等于面内电荷的减少量。
恒定电流条件：面内电荷不变时 $\oint_S \boldsymbol{j}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=0$——流入等于流出，各点 $\boldsymbol{j}$ 恒定。

三、电源电动势

电源：提供非静电力、把正电荷从负极经内部移回正极的装置；非静电力做功即把其他形式能量转变为电能。
电动势：单位正电荷绕闭合回路一周非静电力所做的功 $\mathscr{E}=\dfrac{A}{q}=\oint \boldsymbol{E_k}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}$；因 $\boldsymbol{E_k}$ 只存在于电源内部，$\mathscr{E}=\int_-^+ \boldsymbol{E_k}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}$，大小只取决于电源本身。正方向：电源内部电势升高的方向；单位 V。

*四、欧姆定律的微分形式

对导体内小圆柱用 $\mathrm{d}I=-\dfrac{\mathrm{d}U}{R}$（$R=\rho\dfrac{\mathrm{d}l}{\mathrm{d}S}$），且 $\boldsymbol{j}$ 与 $\boldsymbol{E}$ 同向，得 $\boldsymbol{j}=\sigma\boldsymbol{E}$——$\sigma$ 为电导率（$\rho$ 的倒数），表征该点导电性质。

*五、基尔霍夫定律

第一定律（节点电流定律）：由恒定电流条件，流出节点的电流代数和为零 $\sum I_i=0$；恒定电流下电荷分布不变，产生服从高斯定理与环路定理的恒定电场（$\oint_L \boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=0$）。
第二定律（回路电压定律）：沿任一闭合回路一周电势降落代数和为零。

14.2 恒定磁场磁感应强度

一、基本磁现象

天然磁铁（$\mathrm{Fe_3O_4}$）吸铁；磁针指北端为磁北极 N、指南端为磁南极 S；同种磁极相斥、异种磁极相吸；磁极总是成对出现，磁单极至今未被实验证实。
1820 年奥斯特发现电流的磁效应（对磁针的作用是横向力）；同年安培发现磁铁对载流导线、线圈也有磁力作用。安培分子电流假说（1826）：一切磁现象可归结为电流的磁效应，微观上都是运动电荷之间的相互作用。

二、磁场

磁相互作用通过磁场传递：电流（磁铁）$\rightleftharpoons$ 磁场 $\rightleftharpoons$ 电流（磁铁），归根到底是运动电荷 $\rightleftharpoons$ 磁场 $\rightleftharpoons$ 运动电荷。磁场的基本特征是能对其中的运动电荷施加作用力；静止电荷只受电场力，运动电荷还受磁场力。

三、磁感应强度

孤立电流元不存在，故用磁场对试探运动点电荷的作用描述 $\boldsymbol{B}$。实验：① 沿某两个相互反平行方向运动时 $F=0$，其一规定为 $\boldsymbol{B}$ 方向；② $\boldsymbol{F}$ 总垂直于 $\boldsymbol{v}$ 与磁场方向组成的平面；③ 垂直磁场运动时受力最大（$F_{\max}$），比值 $\dfrac{F_{\max}}{|q|v}$ 与 $|q|$、$v$ 无关。
定义：$B=\dfrac{F_{\max}}{|q|v}$；方向可用小磁针 N 极指向或 $\boldsymbol{F_{\max}}\times\boldsymbol{v}$ 确定。单位：特斯拉（T）。

表 14-1 一些磁感应强度的大小（单位：T）

位置	磁感应强度大小
原子核表面	约 $10^{12}$
中子星表面	约 $10^{8}$
太阳黑子中	约 $0.3$
太阳表面	约 $10^{-2}$
小型条形磁铁近旁	约 $10^{-2}$
木星表面	约 $10^{-3}$
地球表面	约 $5\times10^{-5}$
人体表面（头部）	约 $3\times10^{-10}$
星际空间	约 $10^{-10}$
磁屏蔽室内	$3\times10^{-14}$

14.3 毕奥—萨伐尔定律

恒定电流激发的磁场为恒定磁场（静磁场）。

一、磁场叠加原理

把载流导线分成无限多个电流元 $I\mathrm{d}\boldsymbol{l}$（计算磁场的基本单元）；磁场服从叠加原理：$\boldsymbol{B}=\int_L \mathrm{d}\boldsymbol{B}$（矢量积分须用分量式）。

二、毕奥—萨伐尔定律

电流元磁场（$\theta$ 为 $\mathrm{d}\boldsymbol{l}$ 与位矢 $\boldsymbol{r}$ 的夹角）：

$$\mathrm{d}\boldsymbol{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}\boldsymbol{l}\times\boldsymbol{r}}{r^{3}},\qquad \mathrm{d}B=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{I\mathrm{d}l\sin\theta}{r^{2}}$$

$\mathrm{d}\boldsymbol{B}$ 沿 $\mathrm{d}\boldsymbol{l}\times\boldsymbol{r}$ 方向（右手螺旋法则）；$\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{N\cdot A^{-2}}$ 为真空磁导率。

电流元不能孤立存在，该定律非直接实验总结，系拉普拉斯分析毕奥、萨伐尔实验得出；结合叠加原理积分可求任意电流的磁场分布。

三、应用

步骤：① 划分电流元、标出 $\boldsymbol{r}$ 与夹角 $\theta$；② 求 $\mathrm{d}\boldsymbol{B}$ 并定方向；③ 建坐标系分解、对称性分析；④ 分量积分后矢量合成。
典型结果（务必熟记） ：无限长直导线 $B=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi a}$；半无限长（垂足为端点）$B=\dfrac{\mu_0 I}{4\pi a}$；圆线圈圆心 $B=\dfrac{\mu_0 I}{2R}$；一段圆弧在圆心 $B=\dfrac{\mu_0 I}{4\pi R}\theta$（$\theta$ 为对圆心的张角）；无限长直螺线管内部 $B=\mu_0 nI$（均匀）、两端 $\dfrac{\mu_0 nI}{2}$、管外趋于零。

【例14-3-1】 圆线圈（$N$ 匝）轴线 → 垂直轴分量对称相消，$B=\int\mathrm{d}B\cos\theta$ → $B=\dfrac{N\mu_0 IR^2}{2(R^2+x^2)^{3/2}}$；$x\gg R$ 时 $B=\dfrac{\mu_0 IS}{2\pi x^3}$（$S=\pi R^2$）。

【例14-3-2】 有限长直导线（距线 $a$，两端夹角 $\theta_1,\theta_2$）→ 代换 $l=-a\cot\theta$ 积分 → $B=\dfrac{\mu_0 I}{4\pi a}(\cos\theta_1-\cos\theta_2)$。

【例14-3-3】 直螺线管轴线 → 每小段视为圆电流 $In\ \mathrm{d}l$，以角 $\beta$（$l=R\cot\beta$）积分 → $B=\dfrac{\mu_0 nI}{2}(\cos\beta_2-\cos\beta_1)$。

【例14-3-4】 $CD$ 段弯成 $120^\circ$ 圆弧的无限长直导线（$I=5.0\ \mathrm{A}$、$R=2.0\times10^{-2}\ \mathrm{m}$），圆心 $O$ 处 → 三段叠加（半无限长直线＋$\frac13$ 圆弧－反向的半无限长直线）→ $B_0=\dfrac{\mu_0 I}{4\pi R}\left(\dfrac{2\pi}{3}+\sqrt{3}-1\right)=7.1\times10^{-5}\ \mathrm{T}$，垂直纸面向里。

【例14-3-5】 均匀带电圆盘（$R$、$q$）以 $\omega$ 转动，盘心处 → 圆环电流 $\mathrm{d}I=\dfrac{q\omega}{\pi R^2}r\ \mathrm{d}r$ 叠加 → $B=\dfrac{\mu_0 q\omega}{2\pi R}$，与转向成右手螺旋。

【例14-3-6】 氢原子基态电子（$r=0.53\times10^{-10}\ \mathrm{m}$、$v=2.2\times10^{6}\ \mathrm{m/s}$）在核处 → $B=\dfrac{\mu_0 ev}{4\pi r^2}=12.5\ \mathrm{T}$。

四、运动电荷的磁场

由 $I=qn vS$ 与 $\mathrm{d}N=nS\ \mathrm{d}l$（$n$ 为单位体积载流子数）推得一个运动电荷的磁场：

$$\boldsymbol{B}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{r}}{r^{3}}$$

$\boldsymbol{B}$ 垂直于 $\boldsymbol{v}$、$\boldsymbol{r}$ 组成的平面，指向适合右手螺旋（$q<0$ 反向），适用于任意运动电荷；此式是一个电荷的磁场，毕奥—萨伐尔定律算的是多个电荷的合磁场。

14.4 磁场的高斯定理

一、磁感应线

磁感应线：切线方向即该点磁场方向；规定通过某点垂直于 $\boldsymbol{B}$ 的单位面积的条数等于该点 $B$ 的大小（均匀场中为等间距平行线）。
特性：① 每条磁感应线都是环绕电流的无头无尾的闭合线——磁场是有旋场而非保守场，不存在类似电势的标量函数；② 环绕方向与电流服从右手螺旋定则（直电流：拇指指电流；圆电流：拇指指轴线方向）。

二、磁通量

磁通量 $\Phi_m$：$\mathrm{d}\Phi_m=\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=B\cos\theta\ \mathrm{d}S$，$\Phi_m=\int_S\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}$；单位韦伯（Wb），$1\ \mathrm{Wb}=1\ \mathrm{T\cdot m^2}$。

三、磁场的高斯定理

磁感应线闭合，穿入与穿出闭合曲面的条数相等，通过任何闭合曲面的总磁通量必为零：

$$\oint_S \boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=0$$

磁场是无源场（对比静电场的”有源”）。

【例14-4-1】 两平行长直导线（$d=40\ \mathrm{cm}$、$I_1=I_2=20\ \mathrm{A}$ 反向）→ 等距点同向叠加 $B=4.0\times10^{-5}\ \mathrm{T}$；矩形区（$r_1=10\ \mathrm{cm}$、$r_2=20\ \mathrm{cm}$、$l=25\ \mathrm{cm}$）非均匀场积分 $\Phi_1=\dfrac{\mu_0 I_1 l}{2\pi}\ln\dfrac{r_1+r_2}{r_1}$ → $\Phi=2.2\times10^{-6}\ \mathrm{Wb}$。

14.5 磁场中的安培环路定理

一、安培环路定理

静电场中 $\oint\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=0$；磁场环流不为零。以无限长直导线为例：环路包围电流时，由 $\mathrm{d}l\cos\theta=r\ \mathrm{d}\varphi$ 得 $\oint_L\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\mu_0 I$；电流在环路外时两段贡献相消，环量为零。
多根载流导线时由叠加原理得安培环路定理：

$$\oint_L\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\mu_0\sum_{in}I_i$$

只计被环路包围的电流的代数和；电流流向与绕行方向成右手螺旋为正，反之为负。

注意：未包围的电流对环流无贡献，但对各点磁场仍有贡献；环流不为零反映磁场是涡旋场（有旋、非保守场）。

二、应用

步骤：① 由电流对称性分析磁场对称性；② 选合适环路（$\boldsymbol{B}$ 大小处处或分段相等、与路径夹角处处或分段相等）；③ 用 $\oint_L\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\mu_0\sum I_{in}$ 求 $B$。

【例14-5-1】 无限长均匀载流圆柱导体（半径 $R$）→ 同轴圆形环路 → 柱外 $B=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}\propto 1/r$（同电流集中于轴线）；柱内 $\sum I_{in}=\dfrac{Ir^2}{R^2}$，$B=\dfrac{\mu_0 Ir}{2\pi R^2}\propto r$，柱面处最大 → $\boldsymbol{B}$ 沿同心圆切向、与 $I$ 成右手螺旋。 【思考】 无限长均匀载流圆筒：筒内 $B=0$，筒外 $B=\dfrac{\mu_0 I}{2\pi r}$——磁场只在筒外。

【例14-5-2】 长直密绕螺线管内磁场 → 管内沿轴均匀、管外近旁为零；矩形回路（$MN$ 段平行于轴、在管内）：管外段为 0、两侧段 $\boldsymbol{B}\perp\mathrm{d}\boldsymbol{l}$、$MN$ 段 $B\overline{MN}=\mu_0 n\overline{MN}I$ → $B=\mu_0 nI$（沿轴向、与电流绕向成右手螺旋）。

【例14-5-3】 密绕螺绕环（$N$ 匝，内、外半径 $R_1$、$R_2$）→ 过环心圆形环路 → 环孔内及环外 $B=0$；环体内 $B=\dfrac{\mu_0 NI}{2\pi r}$（与 $r$ 成反比）；细环（$R_2-R_1\ll R_1$）取 $R=\dfrac{R_1+R_2}{2}$、$n=\dfrac{N}{2\pi R}$，即过渡为螺线管结果 $B=\mu_0 nI$。

【例14-5-4】 无限大薄导体板均匀载流（线电流密度 $j$，A/m）→ 叠加法或横跨薄板的矩形环路 $2lB=\mu_0 jl$ → 两侧均为均匀磁场 $B=\dfrac{\mu_0 j}{2}$，与距离无关、两侧方向相反。

14.6 带电粒子在电磁场中的运动

一、洛伦兹力

静止电荷在磁场中不受力；$\boldsymbol{F}_m=q\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}$ （洛伦兹力）：大小 $qvB\sin\theta$，方向由 $\boldsymbol{v}$ 转向 $\boldsymbol{B}$ 的右手螺旋定则确定（$q<0$ 反向）；洛伦兹力垂直于速度、不做功。
电场力 $\boldsymbol{F}_e=q\boldsymbol{E}$，电磁场共同作用（洛仑兹力公式）：$\boldsymbol{F}=q(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B})$。

二、带电粒子在磁场中的运动

纵向磁场（$\boldsymbol{v}\parallel\boldsymbol{B}$）：洛伦兹力为零，匀速直线运动。
横向磁场（$\boldsymbol{v}\perp\boldsymbol{B}$）：$qvB$ 作向心力，匀速率圆周运动：$R=\dfrac{mv}{qB}$，$T=\dfrac{2\pi m}{qB}$——$T$ 与速度无关，仅取决于 $B$ 与荷质比 $q/m$。
任意夹角：分解 $v_{\parallel}=v\cos\theta$ 与 $v_{\perp}=v\sin\theta$，合成螺旋线运动：$R=\dfrac{mv\sin\theta}{qB}$，$T=\dfrac{2\pi m}{qB}$，螺距 $h=\dfrac{2\pi m}{qB}v\cos\theta$（与 $v_\perp$ 无关）。
磁聚焦：速率相近、$\theta$ 很小的电子束做螺旋线运动，一个周期后会聚于一点（间距为螺距），可制成电子显微镜。
非均匀磁场与磁约束：半径和螺距不断变化；粒子向强场前进时受与前进方向相反的磁场力分量，可被反射（磁镜效应）；磁约束可约束高温等离子体，实现可控核聚变。

三、应用实例

回旋加速器：狭缝交变电场加速，D 形盒内（静电屏蔽）由磁场支配做半圆运动；两次过缝相隔 $\tau=\dfrac{m\pi}{qB}$，与速度无关，同步条件为电场以回旋周期 $\dfrac{2\pi m}{qB}$ 换向；最大动能 $E_k=\dfrac{q^2B^2R^2}{2m}$；高速时相对论效应使质量随速度增大、周期不恒定，最大动能受限。
同步回旋加速器：改用逐渐缓慢减少的频率保持同步加速；做加速运动的电荷要辐射电磁波，辐射损失限制最大能量；输出粒子一群一群的。
同步加速器：轨道限于圆外缘环带；同步条件 $T_0=T=\dfrac{2\pi R}{v}$，由 $R=\dfrac{mv}{qB}$（相对论质量）得磁场须随速度变化 $B(t)=\dfrac{mv}{qR}$，电压周期与 $B$ 同时调整实现共振加速；需前级注入器预加速（剩磁使 $B$ 不能从零开始）。
质谱仪（分析同位素、测荷质比）：速度选择器中仅 $qE=qvB’$ 即 $v=\dfrac{E}{B’}$ 的离子能直线穿过狭缝射出；在纯磁场 $B$ 中做半径 $R$ 的圆周运动，$m=\dfrac{qBB’R}{E}$，不同质量同位素在底片上形成位置不同的线谱状条纹；荷质比 $\dfrac{q}{m}=\dfrac{E}{RBB’}$。
霍耳效应（1879 年）：载流导体板置于垂直于电流的磁场中，在与磁场、电流都垂直的两端面间出现霍耳电势差（霍耳电压） $U_H=R_H\dfrac{IB}{d}$（$R_H$ 为霍耳系数）。解释：载流子受洛伦兹力偏转，两侧积累异号电荷形成横向霍耳电场，动态平衡时 $qvB=q\dfrac{U_H}{l}$，代入 $I=ldnqv$ 得 $U_H=\dfrac{IB}{nqd}$、$R_H=\dfrac{1}{nq}$——符号随 $q$ 正负、数值与 $n$ 成反比，可判断载流子正负与浓度。应用：测磁场、测大电流、磁流体发电。

14.7 磁场对载流导线的作用

一、安培定律

安培定律（1820 年）：电流元 $I\mathrm{d}\boldsymbol{l}$ 受力大小 $\mathrm{d}F=I\mathrm{d}l\ B\sin\theta$，方向垂直于 $I\mathrm{d}\boldsymbol{l}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 所决定的平面、由右手螺旋法则确定：

$$\mathrm{d}\boldsymbol{F}=I\mathrm{d}\boldsymbol{l}\times\boldsymbol{B}$$

任意载流导线所受安培力为各电流元受力的矢量和：$\boldsymbol{F}=\int_L I\mathrm{d}\boldsymbol{l}\times\boldsymbol{B}$。

微观机制：安培力是大量载流子所受洛伦兹力的宏观表现：$\mathrm{d}\boldsymbol{F}=\mathrm{d}q\ \boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}=I\mathrm{d}\boldsymbol{l}\times\boldsymbol{B}$。

二、载流导线在磁场中受力

均匀磁场中长 $l$ 的直导线（与 $\boldsymbol{B}$ 夹角 $\theta$）：各电流元受力同向，$F=IBl\sin\theta$，方向垂直于导线与 $\boldsymbol{B}$ 所决定的平面。
非均匀磁场：先求分量 $F_x=\int\mathrm{d}F_x$ 等（作用点按平行力合力方法处理），再求合力。

【例14-7-1】 无限长直导线（$I_1$）对共面载流直导线（长 $L$、$I_2$、近端距 $r$、倾角 $\alpha$）的作用力 → $B=\dfrac{\mu_0 I_1}{2\pi x}$，$x=r+l\cos\alpha$、$\mathrm{d}l=\dfrac{\mathrm{d}x}{\cos\alpha}$ 积分 → $F=\dfrac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi\cos\alpha}\ln\dfrac{r+L\cos\alpha}{r}$。

三、载流线圈在磁场中受到的磁力矩

匀强磁场中的载流线圈（边 $l_1$、$l_2$，电流 $I$，平面与磁场成 $\theta$ 角）：与 $\boldsymbol{B}$ 成 $\theta$ 角的两边受力 $BIl_1\sin\theta$ 等大反向共线、抵消；另两边 $BIl_2$ 等大反向不共线，成力偶（力臂 $l_1\cos\theta$）→ $M=BIS\cos\theta$（$S=l_1l_2$）。
用线圈平面正法线方向（与电流成右手螺旋）与 $\boldsymbol{B}$ 的夹角 $\varphi$（$\theta+\varphi=\pi/2$）表示：$M=BIS\sin\varphi$；$N$ 匝时 $M=p_mB\sin\varphi$，矢量式 $\boldsymbol{M}=\boldsymbol{p}_m\times\boldsymbol{B}$ ，$\boldsymbol{p}_m=NIS$ 为磁矩（方向为线圈平面法线正方向）。
适用范围：匀强磁场中任意形状平面线圈均成立；带电粒子闭合回路运动及自旋磁矩受力矩计算亦可用。
平衡讨论：$\varphi=\pi/2$（线圈平面平行磁场）磁力矩最大；$\varphi=0$（$\boldsymbol{p}_m$ 与 $\boldsymbol{B}$ 同向）力矩为零、稳定平衡；$\varphi=\pi$ 力矩为零但不稳定——磁力矩总促使线圈转到磁矩与外磁场同向的稳定位置。稳定平衡时由磁矩指向定 $\boldsymbol{B}$ 方向、由 $B=\dfrac{M_{\max}}{p_m}$ 定 $B$ 值。
重要结论：匀强磁场中平面载流线圈合力恒为零、只受力矩——只转动不平动；这是电动机、动圈式电表、电流计的基本原理。
非均匀磁场中：合力和合力矩一般都不为零，除转动外还平动；分量 $\boldsymbol{B}_\perp$ 的力沿径向、只引起形变，分量 $\boldsymbol{B}_\parallel$ 的力使线圈移向磁场较强处（电流反向则被推离）；合力与磁矩和磁感应强度梯度成正比。

四、电流单位”安培”的定义

两平行”无限长”直导线（相距 $d$）：$AB$（$I_1$）在 $I_2\mathrm{d}\boldsymbol{l}_2$ 处的 $B_{21}=\dfrac{\mu_0 I_1}{2\pi d}$（垂直于电流元，$\sin\theta=1$），每根导线单位长度受力

$$\frac{\mathrm{d}F_{21}}{\mathrm{d}l_2}=\frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}$$

同向电流相吸、反向电流相斥（斥力与引力大小相等）。
安培定义：真空中相距 $1\ \mathrm{m}$ 的两无限长、圆截面极小的平行直导线载相等电流，若每米长度的相互作用力等于 $2\times10^{-7}\ \mathrm{N}$，则电流为 $1\ \mathrm{A}$；据此 $\mu_0=4\pi\times10^{-7}\ \mathrm{N\cdot A^{-2}}$（SI 中为导出量）。

14.8 磁力的功

一、磁力对运动载流导线做功

导线 $ab$（长 $L$）在轨道上滑行（$I$ 不变）：$F=BIL$，$A=BIL\Delta x$；由 $BL\Delta x=B\Delta S=\Delta\Phi_m$ 得

$$A=I\Delta\Phi_m$$

即功等于电流强度与回路磁通量增量的乘积（电流乘以回路切割的磁感应线条数）。

二、载流线圈转动时磁力矩做功

线圈（$p_m=IS$）法线与 $\boldsymbol{B}$ 成 $\varphi$ 角：$M=BIS\sin\varphi$，$\mathrm{d}A=-M\mathrm{d}\varphi=I\ \mathrm{d}\Phi_m$（负号表示磁力矩做正功时 $\varphi$ 减小）。
从 $\varphi_1$ 转到 $\varphi_2$：$A=\displaystyle\int_{\Phi_{m1}}^{\Phi_{m2}}I\ \mathrm{d}\Phi_m=I\Delta\Phi_m$；对任意形状平面闭合回路在均匀磁场中变形或转动（$I$ 不变）均适用。
注意：电流变化时 $A=\int_{\Phi_{m1}}^{\Phi_{m2}}I\ \mathrm{d}\Phi_m$，$I$ 不能提出积分号外。

【例14-8-1】 半圆形线圈（$R$、$I$）在平行于线圈平面的 $\boldsymbol{B}$ 中 → $p_m=I\cdot\frac{\pi R^2}{2}$，$M=p_mB=\frac{1}{2}\pi IBR^2$（使磁矩转向 $\boldsymbol{B}$）→ 转过 $90°$：$A=I\Delta\Phi_m=\frac{\pi R^2}{2}IB$。

磁介质：在磁场作用下能被磁化并反过来影响磁场的物质（任何实物都是磁介质）。
分子电流假说（安培）：物质磁性来源于分子电流。

15.1 磁介质及其磁化

一、磁介质及其分类

磁化图像：分子中运动电荷受磁力 → 出现宏观磁化电流 → 产生附加磁场 $\boldsymbol{B}’$；总磁场 $\boldsymbol{B} = \boldsymbol{B}_0 + \boldsymbol{B}’$，$\boldsymbol{B}_0$ 为外磁场（真空螺线管 $B_0=\mu_0 nI$，$n$ 为单位长度匝数）。
实验规律：充满均匀各向同性介质时 $\boldsymbol{B} = \mu_r \boldsymbol{B}_0$，方向相同。
相对磁导率 $\mu_r$：无单位的纯数，由介质本身特性决定，反映介质磁化后对磁场影响的程度
磁导率 $\mu = \mu_r\mu_0$，单位与 $\mu_0$ 相同（$\mathrm{N/A^2}$，即 $\mathrm{H\cdot m^{-1}}$）；充介质螺线管内 $B = \mu_r\mu_0 nI = \mu nI$。

表 15-1 几种磁介质的相对磁导率

磁介质种类	材料	相对磁导率 $\mu_r$
抗磁质（$\mu_r<1$）	铋（293 K）	$1-1.66\times10^{-5}$
	汞（293 K）	$1-2.9\times10^{-5}$
	铜（293 K）	$1-1.0\times10^{-5}$
	氢（气体）	$1-3.89\times10^{-5}$
顺磁质（$\mu_r>1$）	氧（液体 90 K）	$1+7.699\times10^{-3}$
	氧（气体 293 K）	$1+3.449\times10^{-3}$
	铝（293 K）	$1+1.65\times10^{-5}$
	铂（293 K）	$1+2.6\times10^{-4}$
铁磁质（$\mu_r\gg1$）	纯铁	$5\times10^{3}$（最大值）
	硅钢	$7\times10^{2}$（最大值）
	坡莫合金	$1\times10^{5}$（最大值）

三类磁介质 ：
- 顺磁质：$\mu_r$ 略大于 1，$\boldsymbol{B}’$ 与 $\boldsymbol{B}_0$ 同向；如空气、氧、铝、铬、锰（大多数物质）。
- 抗磁质：$\mu_r$ 略小于 1，$\boldsymbol{B}’$ 与 $\boldsymbol{B}_0$ 反向；如氢、水、汞、铜、铅、铋。
- 铁磁质：$\mu_r\gg1$ 且随 $\boldsymbol{B}_0$ 大小变化，产生同向的很强 $\boldsymbol{B}’$；如铁、镍、钴，应用广泛。
顺/抗磁质 $\mu_r$ 与 1 相差极小，工程上常按真空（$\mu_r=1$）处理。
超导体：附加磁场在材料内完全抵消外磁场，内部磁场为零，$\mu_r=0$——完全抗磁性。

二、分子磁矩分子附加磁矩

电子的轨道运动与自旋均产生磁效应；其总和等效为分子电流，磁矩即分子磁矩 $\boldsymbol{p}_m$＝所有电子轨道磁矩与自旋磁矩的矢量和（忽略核磁矩）。
外磁场对轨道磁矩的影响（轨道磁矩 $\boldsymbol{m}$）：$\boldsymbol{B}_0$ 与 $\boldsymbol{m}$ 同向时洛伦兹力 $-e(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B})$ 与库仑引力反向（设半径不变则电子速度减小），反向平行时合力增大——两种情形均得附加轨道磁矩 $\Delta\boldsymbol{m}$ 与 $\boldsymbol{B}_0$ 反向；电子自旋与核自旋亦然。
抗磁性的普遍性：分子附加磁矩 $\Delta\boldsymbol{p}_m = \sum\Delta\boldsymbol{m}$ 恒与 $\boldsymbol{B}_0$ 反向——任何磁介质都存在抗磁性。

三、顺磁质和抗磁质的磁化

顺磁质（似有极分子）：$\boldsymbol{p}_m\neq0$；无外场时热运动使 $\sum\boldsymbol{p}_m=0$，不显磁性；加外场后固有磁矩转向外场（取向磁化），$\sum\boldsymbol{p}_m$ 与 $\boldsymbol{B}_0$ 同向——顺磁效应（同时仍有抗磁效应）。因 $|\sum\boldsymbol{p}_m| \gg |\sum\Delta\boldsymbol{p}_m|$（附加磁矩比固有磁矩小 5 个数量级），故 $B>B_0$，$\mu_r$ 略大于 1。
抗磁质（似无极分子）：$\boldsymbol{p}_m = 0$，无取向磁化，附加磁矩是磁化的唯一原因；$\boldsymbol{B}’$ 恒与 $\boldsymbol{B}_0$ 反向，$B<B_0$，$\mu_r$ 略小于 1。
铁磁质：$\boldsymbol{p}_m\neq0$ 但磁化机制特殊（见 15.3）。

四、磁化强度矢量与磁化电流

磁化强度 $\boldsymbol{M}$：介质内某点处单位体积内分子磁矩的矢量和

$$\boldsymbol{M} = \frac{\sum\boldsymbol{p}_m + \sum\Delta\boldsymbol{p}_m}{\Delta V}$$

顺磁质：$\boldsymbol{M} = \dfrac{\sum\boldsymbol{p}_m}{\Delta V}$，与 $\boldsymbol{B}_0$ 同向；抗磁质：$\boldsymbol{M} = \dfrac{\sum\Delta\boldsymbol{p}_m}{\Delta V}$，与 $\boldsymbol{B}_0$ 反向。

$\boldsymbol{M}$ 是空间坐标的矢量函数，均匀磁化时为常矢量；单位 $\mathrm{A\cdot m^{-1}}$。
磁化电流 $I_s$（磁化面电流、束缚电流）：介质均匀时内部小圆电流互相抵消，表面出现环形电流；由分子小圆电流接合而成，非传导电流；磁效应与传导电流相当，但无热效应。
$\boldsymbol{M}$ 与磁化面电流：由总磁矩 $I_sS$、线密度 $j_s=I_s/L$ 得 $M=j_s$（只适用均匀磁介质被均匀磁化）。
磁化强度的环流（普遍成立）：

$$\oint_L \boldsymbol{M}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l} = \sum_{(L_内)} I_s$$

15.2 磁介质中的高斯定理和安培环路定理

一、有磁介质时的高斯定理

磁化面电流与传导电流产生磁场方面等效（磁感应线均闭合，同属涡旋场），$\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}_0+\boldsymbol{B}’$，故高斯定理仍成立：

$$\oint_S \boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} = 0$$

即普遍情况恒定磁场的高斯定理（$\boldsymbol{B}$ 为合磁场）。

二、有磁介质时的安培环路定理

$\boldsymbol{B}$ 的环路定理：

$$\oint_L \boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l} = \mu_0 \sum (I + I_s)$$

因 $I_s$ 不能直接测量，代入 $\oint_L\boldsymbol{M}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l} = \sum I_s$ 并定义磁场强度

$$\boldsymbol{H} = \frac{\boldsymbol{B}}{\mu_0} - \boldsymbol{M}$$

（类比电位移 $\boldsymbol{D}$；定义式，任何条件下均适用，联系任一点的 $\boldsymbol{H}$、$\boldsymbol{M}$、$\boldsymbol{B}$；单位 $\mathrm{A\cdot m^{-1}}$）

$\boldsymbol{H}$ 的安培环路定理：

$$\oint_L \boldsymbol{H}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l} = \sum I$$

环流只等于穿过回路的传导电流代数和，与磁化电流无关

磁化率：各向同性均匀介质中 $\boldsymbol{M} = \chi_m \boldsymbol{H}$；$\chi_m$ 为磁化率，无单位纯数，仅与介质性质有关，顺磁质 $\chi_m>0$、抗磁质 $\chi_m<0$（均很小）。由 $\boldsymbol{B} = \mu_0(1+\chi_m)\boldsymbol{H}$，令 $\mu_r = 1 + \chi_m$ 得

$$\boldsymbol{B} = \mu_0\mu_r\boldsymbol{H} = \mu\boldsymbol{H}$$

真空：$\boldsymbol{M}=0$，$\boldsymbol{B}=\mu_0\boldsymbol{H}$，$\chi_m=0$，$\mu_r=1$。
适用性：各向同性均匀介质中 $\chi_m$、$\mu_r$ 为恒量；不均匀介质中是位置的函数；铁磁质中还是 $\boldsymbol{H}$ 的函数。
解题思路：$\boldsymbol{M}$ 依赖 $\boldsymbol{H}$、$\boldsymbol{H}$ 又含 $I_s$，形成循环；故先用 $\boldsymbol{H}$ 环路定理求 $\boldsymbol{H}$，再由 $\boldsymbol{B}=\mu\boldsymbol{H}$ 求 $\boldsymbol{B}$，绕开 $I_s$。前提：分布具对称性，$H$ 可提出积分号。

【例15-2-1】 同轴电缆：半径 $R_1$ 导线（电流 $I$ 均匀分布）与内、外半径 $R_2$、$R_3$ 圆筒间充 $\mu_r$ 各向同性非铁磁质 → 取半径 $r$ 圆环路，分区用 $\oint\boldsymbol{H}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\sum I$ → $r<R_1$：$H_1=\frac{Ir}{2\pi R_1^2}$，$B_1=\frac{\mu_0 Ir}{2\pi R_1^2}$；$R_1<r<R_2$：$H_2=\frac{I}{2\pi r}$，$B_2=\frac{\mu_0\mu_r I}{2\pi r}$；$R_2<r<R_3$：$H_3=\frac{I}{2\pi r}\cdot\frac{R_3^2-r^2}{R_3^2-R_2^2}$；$r>R_3$：$H=0$。介质层用 $\boldsymbol{B}$ 环路定理比较得内表面 $I_s=(\mu_r-1)I$

【例15-2-2】 磁介质螺绕环（$\mu=5.0\times10^{-4}\ \mathrm{H\cdot m^{-1}}$，$n=1000\ \mathrm{m^{-1}}$，$I=2.0\ \mathrm{A}$）→ 圆环路用 $\oint\boldsymbol{H}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\sum I$ → $H=nI=2.0\times10^{3}\ \mathrm{A\cdot m^{-1}}$，$B=\mu H=1\ \mathrm{T}$，$M=\frac{B}{\mu_0}-H\approx7.9\times10^{5}\ \mathrm{A\cdot m^{-1}}$，$j_s=M$

15.3 铁磁质

一、铁磁质的特点

$\boldsymbol{B}’$ 可达 $\boldsymbol{B}_0$ 的千百倍且同向。
$\boldsymbol{B}$ 与 $\boldsymbol{H}$ 非线性；$\mu_r$ 达 $10^2\sim10^4$（可 $>10^5$）但非常量，是 $\boldsymbol{H}$ 的函数。
$\boldsymbol{B}$ 落后于 $\boldsymbol{H}$——磁滞；$\boldsymbol{H}=0$ 时有剩磁。
临界温度居里点 $T_c$：$T>T_c$ 变为一般顺磁质（铁 1040 K、钴 1423 K、镍 631 K）。

二、铁磁质的起始磁化曲线磁滞回线

实验原理：铁磁芯螺绕环（总匝数 $N$、平均半径 $r$），$H=\dfrac{NI}{2\pi r}$；改变 $I$ 测 $H$、$B$，由 $\mu=B/H$ 得磁导率曲线（$\mu_i$ 起始磁导率、$\mu_{max}$ 最大磁导率，$\mu$ 先升后降）。
起始磁化曲线 $Oa$：$B$ 随 $H$ 非线性增大，$H$ 达 $H_s$ 后 $B$ 不再增大，$B_s$ 称饱和磁感应强度。
磁滞回线：磁化不可逆——$H$ 减小不沿原曲线回到 $O$；$H=0$ 时存剩磁 $B_r$；反向磁场达矫顽力 $H_c$ 才完全退磁；反向磁化到饱和再返回成闭合曲线，$B$ 总是滞后于 $H$
非单值性：$\boldsymbol{B}$ 与 $\boldsymbol{H}$ 非线性也非单值，同一 $H$ 对应的 $B$ 与磁化历史有关。
磁滞损耗：反复磁化使介质发热的能量损耗，与磁滞回线所围面积成正比。

软磁/硬磁/矩磁材料

类别	特点	典型材料	用途
软磁材料	$H_c<100\ \mathrm{A\cdot m^{-1}}$，回线瘦小，磁滞损耗小	纯铁、硅钢、坡莫合金、铁氧体	继电器、变压器、电磁铁铁芯
硬磁材料	$H_c>100\ \mathrm{A\cdot m^{-1}}$，剩磁大，回线胖大	碳钢、钨钢、铝镍钴合金	永久磁铁、录音磁带
矩磁材料	剩磁接近 $B_s$、矫顽力小，回线近矩形	锰镁、锂锰铁氧体（最常用）	计算机存储”记忆""储存”

矩磁材料磁化后总处于 $B_s$ 或 $-B_s$ 两种剩磁状态，恰可代表二进制”0""1”两个数码

三、磁畴

磁畴：相邻原子电子间很强的”交换作用”使自旋磁矩在微小区域（$10^{-9}\sim10^{-5}\ \mathrm{cm^3}$，含 $10^{17}\sim10^{21}$ 个原子）内自发整齐排列，形成强磁矩小区域。
未磁化时：各磁畴自发磁化方向杂乱无章，整体不显磁性。
外磁场中：与 $\boldsymbol{H}$ 夹角小的磁畴壁移运动（扩展范围）→ 磁畴转向 → 全部沿 $\boldsymbol{H}$ 排列，达磁饱和。
磁滞成因：掺杂与内应力产生”摩擦”，磁畴变化跟不上外磁场；剩磁：撤场后部分规则排列被保存；居里点：剧烈热运动使磁畴瓦解，变为一般顺磁质。

四、磁屏蔽

原理：铁磁材料 $\mu$ 远大于空气（近似 $\mu_0$），由 $B=\mu H$ 磁感应线集中于壳体，腔内几乎无磁感应线——磁屏蔽（坡莫合金/铁铝合金罩壳；应用：屏蔽示波管、显像管的电子束聚焦）。
注意：效果不如静电屏蔽，可加厚或多层壳改善（故屏蔽层一般很重）；不宜屏蔽高频磁场。
1820 年奥斯特发现电流的磁效应后，法拉第（1831）通过大量实验发现：穿过闭合导体回路的磁通量发生变化时，回路中出现电流——电磁感应现象，是电磁学最伟大的成就之一

16.1 电磁感应定律

一、电磁感应现象

三类典型实验：① 磁铁插入或拔出线圈时有电流，相对静止时无；② 无相对运动但载流线圈中电流变化（改电阻）时有电流；③ 恒定磁场中导体棒在轨道上滑行时回路出现电流
定义：不论什么原因使穿过闭合回路所围面积的磁通量变化，回路中出现电流，称电磁感应现象，该电流称感应电流；磁通增加与减少时感应电流流向相反，变化越快感应电流越大

二、楞次定律

楞次定律：感应电流的流向总是使自己激发的磁场穿过回路面积的磁通量，去阻碍或抵偿引起感应电流的磁通量的增减，即反抗任何引起电磁感应的原因（相对运动、磁场变化、线圈变形等）
实质：楞次定律是能量守恒定律在电磁感应现象中的具体体现

三、法拉第电磁感应定律

感应电动势 $\mathscr{E}_i$：由电磁感应现象直接引起的电动势。只要磁通变化回路中就一定有感应电动势：回路闭合时产生感应电流；不闭合时无电流但仍有电动势
法拉第电磁感应定律：$\mathscr{E}_i$ 的大小与磁通量对时间的变化率成正比，计及方向为 $$\mathscr{E}_i=-\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t}\qquad(16\text{-}1\text{-}1)$$ （SI 制中 $\mathscr{E}_i$ 单位 V、$\Phi_m$ 单位 Wb、$t$ 单位 s，比例系数 $k=1$）
多匝线圈：用全磁通 $\Psi_m=\sum\Phi_{mi}$；各匝相同时 $\Psi_m=N\Phi_m$ 称磁链，$\mathscr{E}_i=-\mathrm{d}\Psi_m/\mathrm{d}t$
负号＝楞次定律的数学表示：先选回路绕行方向，与绕向成右手螺旋的磁通量为正；$\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t}>0$ 时 $\mathscr{E}_i<0$（与绕向相反），$\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t}<0$ 时 $\mathscr{E}_i>0$（与绕向相同）

【例16-1-1】 长直导线通 $i=I_0\sin\omega t$，共面矩形线圈（边 $l_1$、$l_2$，近边距 $r$）→ $B=\frac{\mu_0 i}{2\pi x}$，积分求 $\Phi_m$ 再求导 → 结果：$\mathscr{E}_i=-\frac{\mu_0 I_0 l_2\omega}{2\pi}\cos\omega t\ \ln\frac{r+l_1}{r}$，转向随 $\cos\omega t$ 正负交替（相对所选绕向）

16.2 动生电动势和感生电动势

由 $\Phi_m=\int_S B\cos\theta\ \mathrm{d}S$，磁通变化的原因有二：$\boldsymbol{B}$ 不变而回路运动（$\theta$、$S$ 变）→ 动生电动势；回路不动而磁场随时间变化 → 感生电动势

一、动生电动势

非静电力是洛伦兹力：电子随导线以 $\boldsymbol{v}$ 运动受力 $\boldsymbol{F}_m=-e\ \boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}$，两端堆积等量异号电荷，静电力与 $\boldsymbol{F}_m$ 平衡时电动势达稳定值——切割磁感应线产生动生电动势的根本原因是磁场力，非静电性场强 $\boldsymbol{E}_k=\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B}$
一般表达式： $$\mathscr{E}_i=\int_a^b(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B})\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}\qquad(16\text{-}2\text{-}1)$$ 任意导线元 $\mathrm{d}\mathscr{E}_i=(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B})\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}$
与”磁场力不做功”不矛盾：磁场力只传递能量、不提供能量。电子合速度 $\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v}$，总磁场力 $-e(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{v})\times\boldsymbol{B}$ 与合速度垂直、不做功；分力 $f_1=-e(\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B})$ 做正功形成感应电流，分力 $f_2=-e(\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{B})$ 阻碍导体运动做负功，两分力做功代数和为零
能量转换（发电机原理）：外力克服 $f_2$ 做功输入机械能，经 $f_1$ 转化为电能——机械能转化为电能
求法：用式 (16-2-1) 积分，或直接用式 (16-1-1)

【例16-2-1】 铜棒 $OA$ 长 $L$ 绕 $O$ 端在垂直于 $\boldsymbol{B}$ 的平面内以 $\omega$ 转动 → $\mathscr{E}=\int_0^L B\omega l\ \mathrm{d}l$（或扇形回路 $\Phi_m=\frac{1}{2}BL^2\theta$ 用法拉第定律）→ 结果：$\mathscr{E}=\frac{1}{2}B\omega L^2$，方向 $O\to A$（$O$ 端负电、$A$ 端正电）

交流发电机：面积 $S$ 的矩形线圈绕垂直于 $\boldsymbol{B}$ 的轴以 $\omega$ 匀速转动：$\Phi_m=SB\cos\omega t$，$\mathscr{E}_i=SB\omega\sin\omega t$——交变电动势，周期 $2\pi/\omega$、频率 $\omega/2\pi$；来自 $ab$、$cd$ 边切割磁感线（$da$、$bc$ 不切割）

二、感生电动势

定义：导体（回路）静止而所在处磁场变化时产生的感应电动势
非静电力是感生电场力：静止电荷只能受电场力，此电场由变化磁场引起。麦克斯韦 1861 年提出感生电场（涡旋电场）假设：变化的磁场在空间激发电场，不管有无导体存在（真空、介质中均适用），已被实验证实；它与”位移电流”假设共同奠定电磁场理论、指明电磁波存在
由电动势定义和法拉第定律（回路静止、面积不变）： $$\mathscr{E}_i=\int_a^b\boldsymbol{E}_{\text{感}}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}\ (16\text{-}2\text{-}3),\qquad \mathscr{E}_i=\oint_L\boldsymbol{E}_{\text{感}}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=-\int_S\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\ (16\text{-}2\text{-}4,\ 16\text{-}2\text{-}6)$$ 式 (16-2-6) 是电磁场基本方程之一；$S$ 以 $L$ 为边界，绕向与面法向成右手螺旋为正

三、感生电场（感生电场与静电场的比较）

相同点：都能对场中电荷施力
- 产生原因：静电场由静止电荷激发；感生电场由变化的磁场激发
- 保守性：静电场环流为零，是保守场；感生电场环流一般不为零，是非保守场（非势场），通常不引入势（不闭合导体棒两端因电荷堆积仍有电势差，由电场力引起）
- 有源性：静电场电场线有头有尾，是有源场；感生电场电场线闭合、无头无尾（故称涡旋电场），满足感生电场的高斯定理 $\oint_S\boldsymbol{E}_k\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=0$（16-2-7）——无源场
- 方向关系：式 (16-2-6) 负号表示 $\boldsymbol{E}_{\text{感}}$ 与 $\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}$ 成左手螺旋关系，与楞次定律一致；涡旋电场有对称性时可由该式求 $\boldsymbol{E}_{\text{感}}$

四、感生电动势的计算

两法：①磁场对称时先由 (16-2-6) 求 $\boldsymbol{E}_{\text{感}}$ 分布，再由 (16-2-3) 求 $\mathscr{E}_i$；②闭合回路（或加辅助线构成闭合）直接用 (16-1-2)

【例16-2-2】 半径 $R$ 圆柱形空间均匀磁场 $\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t}<0$ → $\boldsymbol{E}_{\text{感}}$ 线为同心圆 → 结果：$E_{\text{感}}=-\frac{r}{2}\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t}$（$r<R$）、$E_{\text{感}}=-\frac{R^2}{2r}\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t}$（$r>R$），沿顺时针；$E_{\text{感}}$ 在 $0\to R$ 线性增大，$r=R$ 处最大 $\frac{R}{2}\left|\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t}\right|$，$r>R$ 后按 $\frac{R^2}{2r}$ 衰减

【例16-2-3】 圆柱形变化磁场（$\frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t}>0$）中长 $l$ 的弦形金属棒 → 取弓形或三角形回路（沿半径方向 $\boldsymbol{E}_{\text{感}}\perp\mathrm{d}\boldsymbol{l}$ 积分为零）→ 结果：$\mathscr{E}_{ab}=\frac{l}{2}\sqrt{R^2-\left(\frac{l}{2}\right)^2}\ \frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t}$，方向 $a\to b$

【例16-2-4】 π 形金属架置于 $B=kx\cos\omega t$ 中，$ab$ 从 $x=0$ 以恒速 $v$ 滑动 → $\Phi=\frac{1}{2}klx^2\cos\omega t$，$x$、$t$ 均变用全导数 → 结果：$\mathscr{E}_i=\frac{1}{2}kl\omega v^2t^2\sin\omega t-klv^2t\cos\omega t$（第一项感生、第二项动生电动势）

五、电子感应加速器

用涡旋电场加速电子的装置（克斯特，1940）：环形真空室内感生电场使电子加速，洛伦兹力使其沿圆轨道运动
只在磁场变化的第一个 1/4 周期内可实现加速（此期间感生电场使电子加速且洛伦兹力指向轨道），须在其结束时引出打靶（电子初速大，环内可绕行几十万圈）
稳定轨道条件（“1/2 规则”）：$B_R=\frac{1}{2}\overline{B}$，即 $\frac{\mathrm{d}B_R}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}\overline{B}}{\mathrm{d}t}$，$\overline{B}$ 为轨道内磁感应强度平均值
加速不受相对论效应限制，但受电子辐射能量损失限制；可达几十万～数百万 eV，用于产生 γ 射线、X 射线（探伤、医疗）——感生电场假设的有力证明

六、涡电流

大块导体内自成闭合回路的感应电流称涡电流（涡流）
热效应：焦耳热与交流频率的平方成正比；高频感应加热冶炼、电磁灶；变压器铁芯发热用相互绝缘的矽钢片叠合减小涡流损耗
机械效应：电磁阻尼（阻尼摆，广泛用于电磁仪表）、电磁驱动（磁性式车速表）
趋肤效应：交流频率增大时电流趋向导线表面，有效截面减小、电阻增大；对策：表面镀银、多股绝缘细导线集束

16.3 自感和互感

一、自感

自感现象：线圈电流变化时穿过自身的磁通随之变化，在线圈自身产生自感电动势 $\mathscr{E}_L$
自感系数：$\Psi_m=LI$（16-3-1），单位 H（$1\ \mathrm{H}=1\ \mathrm{Wb/A}$），数值上等于通 1 A 电流时的全磁通；由回路几何形状、大小及周围介质磁导率决定，与电流无关
自感电动势：一般 $\mathscr{E}_L=-\left(L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}+I\frac{\mathrm{d}L}{\mathrm{d}t}\right)$（两项分别对应电流变化与回路形状/介质变化）；$L$ 不变时 $$\mathscr{E}_L=-L\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}\qquad(16\text{-}3\text{-}2)$$ 负号表明 $\mathscr{E}_L$ 总要阻碍回路本身电流的变化，$L$ 是回路电磁惯性的量度
演示：串大自感线圈的 $L\text{-}R$ 电路通、断电键时灯泡亮度渐变（电流升降均需过程）

二、自感的应用和防止

利用（稳流）：日光灯镇流器、自耦变压器、扼流圈；与电容组成谐振电路、滤波电路
防止（电弧）：大自感大电流电路扳断开关瞬间产生强火花——弧光放电（电弧），高温（2000 ℃ 以上）可用于冶炼、焊接、切割，但易损坏开关、引起火灾；用油开关防止
$L$ 的计算步骤：设电流 $I$ → 求磁场分布 → 求全磁通 $\Psi_m$ → $L=\Psi_m/I$

【例16-3-1】 长螺线管（$N$ 匝、$l$、$S$、$\mu$）→ $B=\mu\frac{N}{l}I$，$\Psi_m=\mu\frac{N^2}{l}IS$ → 结果：$L=\mu n^2V$（$n=N/l$，$V=Sl$）

三、互感

互感现象：两邻近载流回路，回路 1 电流 $I_1$ 变化使穿过回路 2 的磁通 $\Phi_{21}$ 变化，在回路 2 中激起电动势 $\mathscr{E}_{21}$，反之亦然
互感系数：形状、大小、匝数、相对位置及磁介质不变时 $\Psi_{21}=M_{21}I_1$、$\Psi_{12}=M_{12}I_2$，且 $M_{12}=M_{21}=M$： $$M=\frac{\Psi_{21}}{I_1}=\frac{\Psi_{12}}{I_2}\qquad(16\text{-}3\text{-}3)$$ 单位 H；数值上等于一个回路通 1 单位电流时穿过另一回路所围面积的磁通；一般实验测定
互感电动势：$\mathscr{E}_{21}=-M\frac{\mathrm{d}I_1}{\mathrm{d}t}$，$\mathscr{E}_{12}=-M\frac{\mathrm{d}I_2}{\mathrm{d}t}$（16-3-4）——互感系数 $M$ 是耦合回路互感强弱的物理量
应用与防止：变压器、感应圈传递能量或信号；电话串音、电子设备互感干扰须尽量避免

【例16-3-2】 两同轴长直密绕螺线管（$r_1<r_2$，$N_1$、$N_2$）→ 密绕使两管间区域 $B=0$，全磁通用小管截面 $\pi r_1^2$ → 结果：$M=\mu_0 n_1n_2l\ \pi r_1^2$，且 $M_{21}=M_{12}$

四、感应圈

利用互感原理由低压直流获得高电压：断续器使初级电路自动反复通断，在 $N_2\gg N_1$ 的次级线圈中获得高达几万伏的电压产生火花放电；汽油发动机的点火器即感应圈

16.4 磁场的能量

一、自感磁能

电流建立过程中电源除供焦耳热外还要克服自感电动势做功，该功转化为磁场能量储存——载流线圈是储存磁能的器件；$\mathrm{d}A=-\mathscr{E}_L i\ \mathrm{d}t=Li\ \mathrm{d}i$，积分得 $$W_m=\int_0^I Li\ \mathrm{d}i=\frac{1}{2}LI^2\qquad(16\text{-}4\text{-}1)$$ 称自感磁能；电流相同时 $L$ 越大储能越多

二、磁场能量密度

磁场能量与电场能量一样定域在场中。以螺绕环（$B=\mu nI$、$L=\mu n^2V$）代入式 (16-4-1) 得磁场能量密度 $$w_m=\frac{W_m}{V}=\frac{B^2}{2\mu}=\frac{1}{2}BH\qquad(16\text{-}4\text{-}3)$$ 任何磁场都具有能量，存在于一切 $B\neq0$ 的空间
非均匀磁场总磁能：$W_m=\int_V w_m\ \mathrm{d}V=\int_V\frac{1}{2}BH\ \mathrm{d}V$（16-4-4，通用公式）

【例16-4-1】 同轴电缆（内充介质 $\mu$，内外导体电流等值反向，芯线电流在表面薄层）→ $H=\frac{I}{2\pi r}$（$R_1\le r\le R_2$），其余处为 0 → 结果：单位长度 $W_m=\frac{\mu I^2}{4\pi}\ln\frac{R_2}{R_1}$，$L=\frac{\mu}{2\pi}\ln\frac{R_2}{R_1}$

【例16-4-2】 两相邻线圈（$L_1$、$L_2$、$M$）分步通电 → 中途须克服互感电动势做功 $W_{12}=M_{12}I_1I_2$ → 结果：$W_m=\frac{1}{2}L_1I_1^2+\frac{1}{2}L_2I_2^2+MI_1I_2$；总磁能与通电次序无关，证得 $M_{12}=M_{21}=M$

16.5 电感和电容电路的暂态过程

一、RL 电路

自感使接通或切断电路时电流不能立即达稳定值或立即消失，需经历暂态过程（很短但重要，电子线路中有巧妙应用）
电流增长：$i=\frac{\mathscr{E}}{R}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{R}{L}t}\right)$（16-5-1）；电流衰减（分成互不影响的两回路后）：$i=\frac{\mathscr{E}}{R+R’}\mathrm{e}^{-\frac{R}{L}t}$（16-5-2）
时间常数 $\tau=L/R$，决定电流变化的快慢
注意：扳断开关瞬间电流变化率极大，感应电动势足以击穿开关产生电火花或电弧——定量分析 RL 暂态一般不采用这种电路形式

二、RC 电路

充电：$iR+u_C=\mathscr{E}$，$i=C\frac{\mathrm{d}u_C}{\mathrm{d}t}$，初始 $t=0$ 时 $u_C=0$，解得 $u_C=\mathscr{E}\left(1-\mathrm{e}^{-\frac{t}{RC}}\right)$（16-5-3），由 0 指数趋于 $\mathscr{E}$
放电（$t=0$ 时 $u_C=\mathscr{E}$）：$u_C=\mathscr{E}\ \mathrm{e}^{-\frac{t}{RC}}$（16-5-4），指数衰减到 0
时间常数 $\tau=RC$（$R$ 单位 $\Omega$、$C$ 单位 F、$\tau$ 单位 s），决定充放电快慢
储能元件：电感线圈和电容合称储能元件——电感的电流不能突变，电容的电压不能突变

16.6 位移电流

主旨：感生电场假设说明”变化的磁场产生电场”；按对称性思想，麦克斯韦提出”变化的电场产生磁场”，并引入全电流，使安培环路定理不仅适用于恒定电磁场，也适用于变化电磁场

一、位移电流

问题：含电容器电路充放电时传导电流不能在极板间通过，整个电路传导电流不连续；对同一回路 $L$，与导线相交的面 $S_1$ 给出 $\oint\boldsymbol{H}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=I$、位于极板间的面 $S_2$ 给出 0——环流随所选曲面而异，安培环路定理须修正
麦克斯韦的分析：极板间虽无传导电流，但 $\frac{\mathrm{d}\Phi_D}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}(DS)}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}=I$（平行板 $D=\sigma$、$\Phi_D=q$），且无论充电（$\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{D}}{\mathrm{d}t}$ 与 $\boldsymbol{E}$ 同向）或放电（相反），其方向总与导体中电流方向一致
位移电流的定义： $$I_{\mathrm{d}}=\frac{\mathrm{d}\Phi_D}{\mathrm{d}t},\qquad\boldsymbol{J}_{\mathrm{d}}=\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{D}}{\mathrm{d}t}\qquad(16\text{-}6\text{-}1)$$ $I_{\mathrm{d}}$（单位 A）＝通过截面的电位移通量对时间的变化率；$\boldsymbol{J}_{\mathrm{d}}$（单位 $\mathrm{A/m^2}$）＝该点电位移矢量对时间的变化率

二、全电流定律

全电流：$I_{\text{全}}=I+I_{\mathrm{d}}$（16-6-2）——极板间中断的传导电流由位移电流接替，全电流永远连续
全电流定律（推广的安培环路定理）： $$\oint_L\boldsymbol{H}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=I_0+I_{\mathrm{d}}=\int_S\boldsymbol{J}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}+\int_S\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\qquad(16\text{-}6\text{-}3)$$
实质：①传导电流和位移电流都是激发磁场的场源；②与法拉第定律互为镜像，体现电与磁的对称性——变化的电场与磁场永远互相联系，形成统一的电磁场
两种电流的比较：激发磁场方面等效（位移电流的涡旋磁场满足右手螺旋）；但传导电流与电荷定向运动有关、位移电流与电场变化率有关；位移电流不产生焦耳热；位移电流在电介质、导体、真空中都存在——介质中主要是位移电流，导体中主要是传导电流，高频时导体内两者均不可忽略

【例16-6-1】 圆形平行板空气电容器（板间 $\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}$ 已知）→ $I_{\mathrm{d}}=S\frac{\mathrm{d}D}{\mathrm{d}t}=\pi R^2\varepsilon_0\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}$；取半径 $r$ 圆形回路用全电流定律 → 结果：$B=\frac{\mu_0\varepsilon_0 r}{2}\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}$（$\boldsymbol{B}$ 线为同心圆、与位移电流成右手螺旋）；电子径向匀速运动时洛伦兹力与电场力平衡 $v=\frac{E}{B}$（位移电流磁场很弱，不易测量）

【例16-6-2】 有漏电的平板电容器（$\varepsilon$、$\gamma$）充到 $U_0$ 后撤去电源 → 漏电介质相当于 $R=\frac{d}{\gamma S}$，按 RC 放电 → 结果：$q(t)=CU_0\mathrm{e}^{-\frac{\gamma}{\varepsilon}t}$；位移电流与漏电传导电流等值反向，全电流处处为零、板间 $B=0$——全电流连续性的体现

【例16-6-3】 圆形平板电容器 $R=3.0\ \mathrm{cm}$、传导电流 $I=2.5\ \mathrm{A}$ → 板间 $D=\sigma$ 均匀，$\Phi_D=\frac{r^2}{R^2}Q$ → 结果：$I_{\mathrm{d}}=\frac{r^2}{R^2}I=1.1\ \mathrm{A}$；$B=\frac{\mu_0 r I}{2\pi R^2}=1.1\times10^{-5}\ \mathrm{T}$

16.7 麦克斯韦方程组

背景：麦克斯韦在总结前人成就的基础上，引入位移电流和涡旋电场概念，建立系统完整的电磁场理论，并预言了电磁波的存在

一、积分形式

电场的高斯定理：电荷建立的电场 $\oint_S\boldsymbol{D}_1\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\sum q_i$，变化磁场建立的涡旋电场因电场线闭合 $\oint_S\boldsymbol{D}_2\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=0$，叠加得 $$\oint_S\boldsymbol{D}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\int_S\varepsilon\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\sum q_i\qquad(16\text{-}7\text{-}1)$$ 意义：任何电场中通过封闭曲面的电通量等于面内自由电荷的代数和
磁场的高斯定理：传导电流与位移电流（变化电场）建立的磁场磁感线均闭合： $$\oint_S\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=0\qquad(16\text{-}7\text{-}2)$$ 意义：磁通量恒为零，磁感线无头无尾（自然界无磁单极子）
全电流定律（式 16-7-3 同 16-6-3）：$\boldsymbol{H}$ 的环流等于穿过回路所围曲面的全电流——变化的电场与传导电流一样激发磁场
电磁感应定律：电荷电场 $\oint\boldsymbol{E}_1\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=0$，涡旋电场部分由法拉第定律给出，叠加得 $$\oint_L\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=-\int_S\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\qquad(16\text{-}7\text{-}4)$$ 意义：任何电场的环流等于磁通量对时间变化率的负值——变化的磁场激发涡旋电场

积分形式的麦克斯韦方程组： $$\boxed{\begin{aligned} &\oint_S\boldsymbol{D}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=\sum q_i\cr &\oint_L\boldsymbol{E}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=-\int_S\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}\cr &\oint_S\boldsymbol{B}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S}=0\cr &\oint_L\boldsymbol{H}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{l}=\int_S\left(\boldsymbol{J}+\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t}\right)\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{S} \end{aligned}}\qquad(16\text{-}7\text{-}5)$$ （$\boldsymbol{D}=\varepsilon\boldsymbol{E}$、$\boldsymbol{B}=\mu\boldsymbol{H}$、$\boldsymbol{J}$ 传导电流密度、$q_i$ 面内自由电荷）

二、微分形式

积分形式适用于闭合回路/闭合曲面范围的场，描述场中各点的场量需微分形式： $$\nabla\cdot\boldsymbol{D}=\rho,\quad\nabla\times\boldsymbol{E}=-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t},\quad\nabla\cdot\boldsymbol{B}=0,\quad\nabla\times\boldsymbol{H}=\boldsymbol{J}_c+\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t}\qquad(16\text{-}7\text{-}6)$$ （$\rho$ 自由电荷体密度、$\boldsymbol{J}_c$ 传导电流密度），四条与积分形式一一对应

三、意义

全面总结电磁场宏观规律：通量型方程描述电磁场性质，环流型方程揭示电场与磁场的内在联系，电场和磁场统一为电磁场理论
预言电磁波存在（电磁场可脱离电荷、电流源向外传播）；预言光的电磁本性（由方程组解出真空中电磁波速＝光速）
爱因斯坦评价：“这是自牛顿以来物理学所经历的最深刻和最有成果的一项真正观念上的变革”

16.8 电磁振荡

电路中电压和电流的周期性变化称电磁振荡，是谐振器、电磁波及相关电子技术的物理基础

一、无阻尼自由电磁振荡

定义：没有任何能量损耗的电磁振荡，由 LC 电路产生（先充电至 $U_0$ 再接通回路）
一个周期内：$t=0$ 电荷最大、电流为零（全为电场能）→ $t=\frac{T}{4}$ 放电完毕、电流最大（电场能全部转为磁场能）→ $t=\frac{T}{2}$ 反向充电完毕（磁场能又全部转为电场能）→ $t=\frac{3T}{4}$ 反向放电完毕 → $t=T$ 回复原状，电场能与磁场能不断相互转换
与弹簧振子类比：$q\leftrightarrow x$、$i\leftrightarrow v$、$C\leftrightarrow 1/k$、$L\leftrightarrow m$；电场能↔弹性势能、磁场能↔动能

二、LC 电磁振荡方程

由 $-L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}=\frac{q}{C}$、$i=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}$ 得 $\frac{\mathrm{d}^2q}{\mathrm{d}t^2}=-\omega^2 q$（$\omega^2=\frac{1}{LC}$），与简谐方程同形式，解 $q=Q_0\cos(\omega t+\varphi)$（$Q_0$ 电荷振幅、$\varphi$ 由初始条件定）
电流 $i=-I_0\sin(\omega t+\varphi)=I_0\cos\left(\omega t+\varphi+\frac{\pi}{2}\right)$，$I_0=\omega Q_0$ 为电流振幅
频率与周期： $$\nu=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}},\qquad T=2\pi\sqrt{LC}\qquad(16\text{-}8\text{-}3)$$ （$LC$ 越小，固有频率越高）
电流相位比电量超前 $\frac{\pi}{2}$：电荷最大时电流为零，电流最大时电荷为零

三、LC 电磁振荡的能量

$W_{\mathrm{e}}=\frac{q^2}{2C}=\frac{q_0^2}{2C}\cos^2(\omega t+\varphi)$，$W_{\mathrm{m}}=\frac{1}{2}Li^2=\frac{q_0^2}{2C}\sin^2(\omega t+\varphi)$，总能量 $$W_{\text{总}}=W_{\mathrm{e}}+W_{\mathrm{m}}=\frac{1}{2}LI_0^2=\frac{q_0^2}{2C}\qquad(16\text{-}8\text{-}7)$$ 无阻尼自由振荡中，总电磁能保持不变
实际电路有电阻并辐射电磁波，总能量渐减成阻尼振荡；加入周期性变化电动势补充能量为受迫振荡

16.9 平面电磁波

麦克斯韦方程组的重要结论：随时间变化的电磁场具有波动性，以确定速度传播即电磁波；传播过程也是能量传播过程，后由赫兹实验证实

一、电磁波的产生与传播

产生电磁波的过程称电磁辐射；辐射能量与频率的四次方成正比，固有频率越高越易辐射
开放电路：缩小极板面积、拉大间距、减少并拉直线圈匝数——$L$、$C$ 减小、频率增高、电磁场分散到空间，形成振荡电偶极子（电矩 $\boldsymbol{p}=q\boldsymbol{l}=\boldsymbol{p}_0\cos\omega t$）作波源向四周辐射电磁波
传播图像：变化（涡旋）电场激起变化磁场，变化磁场又在更远处激起变化电场——相互激发、交替产生、由近及远传播
产生条件：电荷做加速运动时就有可能发射电磁波：自由电荷简谐运动→无线电波；电子打靶受碰撞减速→X 射线（轫致辐射）；电子圆周运动的向心加速度→同步辐射

二、平面电磁波的特性

振荡偶极子远场（球面电磁波的波函数）： $$E(r,t)=\frac{\mu p_0\omega^2\sin\theta}{4\pi r}\cos\omega\left(t-\frac{r}{u}\right),\qquad H(r,t)=\frac{\sqrt{\varepsilon\mu}\ p_0\omega^2\sin\theta}{4\pi r}\cos\omega\left(t-\frac{r}{u}\right)$$ $u=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon\mu}}$；远处小范围内化为平面电磁波波函数 $E=E_0\cos(\omega t-kx)$、$H=H_0\cos(\omega t-kx)$
平面电磁波的基本特性：
1. 横波：$\boldsymbol{E}$、$\boldsymbol{H}$ 都与传播方向垂直且 $\boldsymbol{E}\perp\boldsymbol{H}$，三者成右手螺旋关系；场量在各自的振动面内振动（偏振性，只有横波才有偏振性）
2. 同相位：任何时刻、任何地点 $\boldsymbol{E}$ 与 $\boldsymbol{H}$ 同步变化
3. 数值成比例：$\sqrt{\varepsilon}E=\sqrt{\mu}H$
4. 速度 $u=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon\mu}}$；真空 $c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}=3.0\times10^{8}\ \mathrm{m\cdot s^{-1}}$——光也是电磁波

三、电磁波的能量

以波的形式传播的能量称辐射能，其速度和方向即电磁波的速度和方向；总能量密度 $w=\frac{1}{2}\varepsilon E^2+\frac{1}{2}\mu H^2$
能流密度（坡印廷矢量）：单位时间通过与传播方向垂直的单位面积的能量，$I=wu=EH$，矢量式 $\boldsymbol{I}=\boldsymbol{E}\times\boldsymbol{H}$（单位 $\mathrm{W/m^2}$），平均值 $\overline{I}=\frac{1}{2}E_0H_0$
振荡偶极子辐射：$I=\frac{\sqrt{\varepsilon\mu}^{\ 3}\ p_0^2\omega^4\sin^2\theta}{16\pi^2r^2}\cos^2\omega\left(t-\frac{r}{u}\right)$（16-9-6），对球面积分取时间平均得平均辐射功率 $\overline{P}=\frac{\mu p_0^2\omega^4}{12\pi u}$（16-9-7）——与频率四次方成正比

【例16-9-1】 真空中某点 $E=50\ \mathrm{V/m}$ → $B=\frac{E}{c}$、$H=\frac{B}{\mu_0}$、$w=\varepsilon_0E^2$（因 $\sqrt{\varepsilon_0}E=\sqrt{\mu_0}H$ 两项相等）、$I=EH$ → 结果：$B=1.67\times10^{-7}\ \mathrm{T}$，$H=0.134\ \mathrm{A/m}$，$w=2.21\times10^{-8}\ \mathrm{J/m^3}$，$I=6.7\ \mathrm{W/m^2}$

四、电磁波谱

各电磁波本质上完全相同，仅频率、波长不同；真空中均以 $c$ 传播，$c=\nu\lambda$——波长越短，频率越高（谱图用对数标度，频率约 $10^0\sim10^{24}\ \mathrm{Hz}$、波长约 $10^{8}\sim10^{-16}\ \mathrm{m}$）

波段	波长范围（真空）	主要特点与用途
无线电波（长波 3 km 以上、中波 50 m～3 km、短波 10～50 m、超短波 1～10 m、微波 0.1～1 m）	——	振荡电路经天线发射；中短波广播通讯、超短波广播、微波用于电视雷达
红外线	比红光长	热效应显著；夜视仪、红外雷达、物质结构与化学成分分析
可见光	400 ～ 760 nm（红→紫）	范围很窄，能引起视觉效应
紫外线	比紫光短	化学效应、荧光效应显著；紫外杀菌、紫外灯捕虫
X 射线	0.04 ～ 5 nm	穿透力强，使底片感光、荧光屏发光；探伤、晶体结构分析、透视；高速电子流轰击金属靶产生
$\gamma$ 射线	0.04 nm 以下	来自宇宙射线、放射性物质或高能粒子与核碰撞；比 X 射线穿透力更强；金属探伤、研究天体

红外线、紫外线不能引起视觉效应，须用特殊仪器探测；可见光、红外线、紫外线由原子或分子等微观源的振荡激发，合称光辐射
各波段的划分依据产生方法和探测手段不同而定，相邻波段已互相渗透重叠

16.10 电磁场的统一性与相对性

统一性：麦克斯韦把法拉第的力线思想”翻译”成数学语言，得到统一的电磁场理论；狭义相对论中 $\boldsymbol{E}$ 的 3 个分量与 $\boldsymbol{B}$ 的 3 个分量属于同一个物理量——统一描写电磁场强度的量是电磁场张量 $F_{\mu\nu}$（四维二阶反对称张量，6 个不为零的独立分量恰对应 $\boldsymbol{E}$、$\boldsymbol{B}$ 的 6 个分量；$i$ 为虚数单位）： $$F_{\mu\nu}=\begin{pmatrix} 0 & B_z & -B_y & -\frac{i}{c}E_x\cr -B_z & 0 & B_x & -\frac{i}{c}E_y\cr B_y & -B_x & 0 & -\frac{i}{c}E_z\cr \frac{i}{c}E_x & \frac{i}{c}E_y & \frac{i}{c}E_z & 0 \end{pmatrix}$$ 电场和磁场不可分割，它们之间有本质的联系
场量的相对性：麦克斯韦方程在所有惯性系中形式相同。设 $K’$ 系以匀速 $v$ 沿 $x$ 方向相对 $K$ 系运动（电荷 $q$ 在各参考系中不变）： $$E_x=E_x’,\quad E_y=\gamma(E_y’+vB_z’),\quad E_z=\gamma(E_z’-vB_y’)$$ $$B_x=B_x’,\quad B_y=\gamma\left(B_y’-\frac{v}{c^2}E_z’\right),\quad B_z=\gamma\left(B_z’+\frac{v}{c^2}E_y’\right)$$ $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$，把 $v$ 换成 $-v$ 得反变换。场量在不同惯性系内可有不同量值——电磁场量是相对的
高速运动电荷的电磁场： $$\boldsymbol{E}=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{(1-\beta^2)\ \boldsymbol{r}}{(1-\beta^2\sin^2\theta)^{3/2}\ r^3},\qquad\boldsymbol{B}=\frac{\mu_0 q}{4\pi}\cdot\frac{(1-\beta^2)\ \boldsymbol{v}\times\boldsymbol{r}}{(1-\beta^2\sin^2\theta)^{3/2}\ r^3}$$ $\beta=\frac{v}{c}$，$\theta$ 为 $\boldsymbol{r}$ 与 $\boldsymbol{v}$ 的夹角；电场不再是球对称——垂直运动方向变强、向 $\theta=90^\circ$ 方向集中；$v\ll c$ 时退化为点电荷的库仑场和运动电荷的磁场
交流电路：电源电动势 $\varepsilon(t)$ 的大小和方向随时间做周期性变化，电流 $i(t)$ 和各元件电压 $u(t)$ 随之做周期性变化；$u(t)$ 称交变电压，$i(t)$ 称交变电流，统称交流电，在电能的产生、传输和利用上具有直流电无法比拟的优点。

17.1 交流电及交流电路中的基本元件

一、交流电概述

波形：电流电压随时间变化的曲线；六种常见：简谐波、锯齿波、矩形脉冲、尖脉冲、调幅波、调频波。
简谐交流电最简单、最重要：其他形式的交流电都可看作不同频率、不同幅度的简谐交流电的叠加，本章只讨论简谐交流电。
余弦表达式：

$$\varepsilon(t)=\varepsilon_0\cos(\omega t+\varphi_e),\quad u(t)=U_0\cos(\omega t+\varphi_u),\quad i(t)=I_0\cos(\omega t+\varphi_i)$$

三要素：描述任一简谐交流电量需要三个特征量
- 角频率 $\omega$（频率 $f=\frac{\omega}{2\pi}$，单位 Hz；$\omega$ 单位 rad/s）——频率由电源决定；
- 相位 $(\omega t+\varphi)$ 反映 $t$ 时刻交流电的状态（瞬时值及变化趋势）；$\varphi$ 为初相位，决定初始状态；两简谐量有相位差则步调不一致——交流电路的复杂性和多样性主要起因于相位；
- 峰值（幅值） $\varepsilon_0,U_0,I_0$。
有效值：与交流电在相同时间内于电阻上产生相同焦耳热的直流电压（电流）值：$U=\frac{U_0}{\sqrt2}=0.707\ U_0$，$I=\frac{I_0}{\sqrt2}=0.707\ I_0$；市电 220 V 指有效值，峰值 $U_0=311\ \mathrm{V}$。
四点说明：频率由电源决定；$(\omega t+\varphi)$ 是 $t$ 时刻的相位；$\varepsilon_0,U_0,I_0$ 总取正值（$-I_0\cos(\omega t+\varphi’)$ 应整理为 $I_0\cos(\omega t+\varphi’+\pi)$，初相 $\varphi’+\pi$）；刚接通时有暂态过程（非简谐），稳定后才是简谐的。

二、交流电路中的基本元件

直流电路只有 $R$ 一种基本元件；交流电路有 $R,L,C$ 三种基本元件。恒定电流下电感相当于导线、电容相当于断开的开关；交流下电感产生大小方向不断变化的自感电动势、电容上出现反复的充放电电流，强烈影响电流电压分配。
描述元件上 $u(t)$ 与 $i(t)$ 的关系需两个量：阻抗 $Z=\frac{U_0}{I_0}$（Ω）与相位差 $\varphi=\varphi_u-\varphi_i$；$(Z,\varphi)$ 总起来代表元件本身的特性。
纯电阻：$u=RI_0\cos\omega t$，电压电流同相位（$\varphi_R=0$，同时达最大值）；$U=IR$；$Z_R=\frac{U_0}{I_0}=\frac{U}{I}=R$——就是电阻值，与频率无关。
纯电感：$u=-\varepsilon_L=L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}$；$i=I_0\cos\omega t$ 时 $u=LI_0\omega\cos(\omega t+\frac{\pi}{2})$——电压超前电流 $\frac{\pi}{2}$。感抗 $Z_L=\frac{U_0}{I_0}=\frac{U}{I}=\omega L=2\pi fL$（$f$—Hz，$L$—H，$Z_L$—Ω）；$Z_L\propto f$：$f\to0$ 时 $Z_L\to0$，$f\to\infty$ 时 $Z_L\to\infty$——电感”通低频、阻高频”，扼流圈（镇流器）用于限制交流或稳定直流。
纯电容：$q=CU_0\cos\omega t$，$i=CU_0\omega\cos(\omega t+\frac{\pi}{2})$——电压落后电流 $\frac{\pi}{2}$。容抗 $Z_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{2\pi fC}$（Ω）；$Z_C\propto\frac1f$：$f\to0$ 时 $Z_C\to\infty$，$f\to\infty$ 时 $Z_C\to0$（$f$ 固定时 $C$ 大则 $Z_C$ 小）——电容”通高频、阻低频”。

表 17-1 交流电路基本元件主要性质的比较

元件种类	$Z=\dfrac{U_0}{I_0}=\dfrac{U}{I}$	$\varphi=\varphi_u-\varphi_i$	相位关系
电阻 $R$	$Z_R=R$（与频率 $f$ 无关）	$0$	电压电流同相位
电感 $L$	$Z_L=2\pi fL\propto f$	$\dfrac{\pi}{2}$	电压超前电流 $\dfrac{\pi}{2}$
电容 $C$	$Z_C=\dfrac{1}{2\pi fC}\propto\dfrac{1}{f}$	$-\dfrac{\pi}{2}$	电压落后电流 $\dfrac{\pi}{2}$

阻抗的频率特性和相位关系（尤其相位关系）是解各类组合电路的关键；即使单个元件，相位差在功率问题上也起重要作用
实际元件不是纯 R、L、C：实际电容器总有损耗，等效电路是 $C$ 与 $R$ 的并联（$f\to0$ 时等效于电阻 $R$；$f\to\infty$ 时 $C$ 高频短路；一般频率下 $\frac{1}{\omega C}\ll R$，以电容特性为主）；$C$ 与 $R$ 串联不符合实际，不是实际电容器的等效电路。

17.2 简单交流电路的解法

求解方法：矢量图解法、复数法、解电路方程法、三角函数法。矢量图解法最直观，复数法运算最简便。

一、矢量图解法计算同频率简谐量的叠加

串联时电压表测得 $U_s\neq U_1+U_2$，并联时电流表测得 $I_s\neq I_1+I_2$；但瞬时值关系成立：串联各元件电流相同、$u_s(t)=u_1(t)+u_2(t)$；并联各元件电压相同、$i_s(t)=i_1(t)+i_2(t)$。
原因：交流电还要考虑相位；电表测出的是有效值、只能测大小不反映相位，故测出的电压或电流不能直接相加减；同频简谐量保持恒定相位差、不会同时达峰值，总峰值≠分峰值之和
旋转矢量法：矢量长度表峰值 $U_0$（作图时可取矢量长度为有效值）；与极轴夹角表相位 $\omega t+\varphi$；以角速度 $\omega$ 沿逆时针匀速转动；投影即瞬时值。同频叠加：各矢量相对位置不变，只画 $t=0$ 时刻（夹角为各量初相位），按 $\boldsymbol{U}=\boldsymbol{U}_1+\boldsymbol{U}_2$ 合成。
注意：单个元件（R、L、C）上电压电流关系的矢量不能叠加，只表示不同性质矢量间的相位关系：R 同相；L 电压超前 $\pi/2$；C 电压落后 $\pi/2$。

二、串联电路的矢量图法解

要点：串联各元件电流相同，取电流矢量 $\boldsymbol{I}$ 为参考矢量，并取 $\varphi_i=0$。
RL 串联：$\boldsymbol{U}_R$ 沿 $\boldsymbol{I}$ 方向、$\boldsymbol{U}_L$ 垂直向上（超前 $\pi/2$），二者垂直：

$$U=\sqrt{U_R^2+U_L^2},\qquad Z=\frac{U}{I}=\sqrt{R^2+(\omega L)^2},\qquad \varphi=\arctan\frac{\omega L}{R}$$

电压有效值不能直接相加，总电压超前电流 $\varphi$；分电压有效值的分配与各元件阻抗成正比：$\frac{U_L}{U_R}=\frac{Z_L}{R}=\frac{\omega L}{R}$（与直流分压规律一样）。

【例17-1】 交流接触器（$R=100\ \Omega$、$L=4.0\ \mathrm{H}$、额定 95 mA，设计用 60 Hz 120 V）→ 按 RL 串联求 $Z=\sqrt{R^2+(\omega L)^2}$ → 50 Hz 220 V：$I=0.17\ \mathrm{A}$ ≈ 2 倍额定，不能用；降 120 V 50 Hz：恰 95 mA 但不宜长期使用；60 Hz 120 V：$I=79\ \mathrm{mA}$、$\varphi=86^\circ12’$；误接 120 V 直流：$\omega=0$、$Z=R$、$I=1.2\ \mathrm{A}$（13 倍）立即烧毁——交流电器不能接在与工作电压相同的直流电源上。

RC 串联：$\boldsymbol{U}_C$ 垂直向下（落后 $\pi/2$）：

$$U=\sqrt{U_R^2+U_C^2},\qquad Z=\sqrt{R^2+\Big(\frac{1}{\omega C}\Big)^2},\qquad \varphi=-\arctan\frac{1}{\omega CR}$$

$\varphi=\varphi_u-\varphi_i<0$ 的电路称电容性电路；电压分配 $\frac{U_C}{U_R}=\frac{Z_C}{Z_R}=\frac{1}{\omega CR}$。

【例17-2】 RC 低通滤波（输出取自 $C$）：直流 240 V 全部降在 $C$ 上（电容隔直）；交流 100 Hz 100 V、$R=200\ \Omega$、$C=50\ \mu\mathrm{F}$ → 输出交流 $U_C=IZ_C=15.7\ \mathrm{V}$；$C=500\ \mu\mathrm{F}$ 时仅 1.59 V——$C$ 越大输出交流成分越小（滤波电容要取大），实际常用多级 RC 滤波；R、C 互换即高通滤波（晶体管级间”阻容耦合”）。

三、并联电路的矢量图解法

要点：并联各元件电压相同，取共同电压矢量 $\boldsymbol{U}$ 为参考矢量，画各分电流矢量叠加求总电流，进而求阻抗。
RL 并联（$\boldsymbol{I}_R$ 沿 $\boldsymbol{U}$、$\boldsymbol{I}_L$ 垂直向下）：

$$I=\sqrt{I_R^2+I_L^2},\qquad Z=\frac{U}{I}=\frac{1}{\sqrt{\Big(\frac{1}{R}\Big)^2+\Big(\frac{1}{\omega L}\Big)^2}},\qquad \varphi=\arctan\frac{I_L}{I_R}=\arctan\frac{R}{\omega L}$$

总电流（有效值）不等于两支路电流的代数和，总电流落后于电压；各支路电流与阻抗成反比（与直流并联一样）。

RC 并联（$\boldsymbol{I}_C$ 垂直向上）：

$$I=\sqrt{I_R^2+I_C^2},\qquad Z=\frac{1}{\sqrt{\Big(\frac{1}{R}\Big)^2+(\omega C)^2}},\qquad \varphi=-\arctan\frac{I_C}{I_R}=-\arctan\omega CR$$

总电流超前于电压（$\varphi<0$）。

【例17-3】 RC 并联加 $u(t)=311\cos(314t+\frac{\pi}{3})\ \mathrm{V}$，$R=100\ \Omega$、$Z_C=50\ \Omega$ → $U=220\ \mathrm{V}$ → $I_R=2.2\ \mathrm{A}$、$I_C=4.4\ \mathrm{A}$、$I=\sqrt{I_R^2+I_C^2}=4.9\ \mathrm{A}$；$\varphi=-63^\circ26’$，$\varphi_i=123^\circ26’$：$i(t)=6.9\cos(314t+123^\circ26’)\ \mathrm{A}$。

四、交流电路的复数解法

复数表示：由欧拉公式，$Ae^{j(\omega t+\varphi)}$ 的实部正是简谐量。复电压、复电流（用有效值，不取峰值形式；求峰值或瞬时值时才用峰值）：

$$\tilde U=Ue^{j(\omega t+\varphi_u)},\qquad \tilde I=Ie^{j(\omega t+\varphi_i)}$$

瞬时值 $u(t)$、$i(t)$ 分别是 $\tilde U$、$\tilde I$ 的实部。

复阻抗：$\tilde Z=\frac{\tilde U}{\tilde I}=\frac{U}{I}e^{j(\varphi_u-\varphi_i)}=Ze^{j\varphi}$——同时反映阻抗 $Z$ 与相位差 $\varphi$ 两个基本性质；$\tilde Z$ 不对应任何随时间变化的简谐量，与 $\tilde U,\tilde I$ 完全不同。
复数形式欧姆定律：$\tilde U=\tilde Z\tilde I$（形式同直流 $R=\frac{U}{I}$，但 $\tilde Z$ 含相位因子 $e^{j\varphi}$）。
三种元件复阻抗：$\tilde Z_R=R$，$\tilde Z_L=\omega Le^{j\frac{\pi}{2}}=j\omega L$，$\tilde Z_C=\frac{1}{\omega C}e^{-j\frac{\pi}{2}}=\frac{1}{j\omega C}$。
串并联：串联 $\tilde Z=\tilde Z_1+\tilde Z_2$；并联 $\frac{1}{\tilde Z}=\frac{1}{\tilde Z_1}+\frac{1}{\tilde Z_2}$——与直流电阻串并联公式形式完全相同；复阻抗中有物理意义的是模和辐角（即阻抗与相位差），运算后必须求出；复数量只是简谐量的运算符号，运算后要找出特征量（峰值和相位）

【例17-4】 日光灯（灯管≈纯电阻与镇流器≈纯电感串联）：$U=220\ \mathrm{V}$、$U_R=43\ \mathrm{V}$、$I=0.39\ \mathrm{A}$ → 由 $U^2=U_R^2+U_L^2$ → $U_L=216\ \mathrm{V}$，$Z_L=554\ \Omega$，$R=110\ \Omega$。

【例17-5】 RL 并联（$R=30\ \Omega$、$Z_L=40\ \Omega$、$U=120\ \mathrm{V}$）→ $\tilde Z=\frac{\tilde Z_R\tilde Z_L}{\tilde Z_R+\tilde Z_L}=19.2+j14.4=24e^{j36.9^\circ}\ \Omega$，$\varphi=36.9^\circ$（电压超前，呈电感性）；$\varphi_u=0$ 时 $\tilde I=5.0e^{j(\omega t-36.9^\circ)}$：$i(t)=5.0\sqrt2\cos(\omega t-36.9^\circ)\ \mathrm{A}$。

17.3 交流电的功率

一、瞬时功率和平均功率

瞬时功率：元件或电路瞬间消耗的功率 $P(t)=u(t)i(t)$。设 $i=I_0\cos\omega t$、$u=U_0\cos(\omega t+\varphi)$：

$$P(t)=\frac{1}{2}U_0I_0\cos\varphi+\frac{1}{2}U_0I_0\cos(2\omega t+\varphi)$$

含一个恒定部分 $\frac12 U_0I_0\cos\varphi$ 和一个以 $2\omega$ 振荡的部分。

平均功率（有功功率，常简称功率）：一周期内的平均值 $\overline{P}=\frac{1}{T}\int_0^T u\ i\ \mathrm{d}t$：

$$\overline{P}=UI\cos\varphi=I^2Z\cos\varphi=I^2R$$

$R=Z\cos\varphi$ 称有功电阻（复阻抗的实部），虚部 $X=Z\sin\varphi$ 称电抗：$\tilde Z=R+jX$

三种纯元件：纯电阻 $\varphi=0$、$\overline{P}_R=UI=I^2R$；纯电感、纯电容 $\cos\varphi=0$、$\overline{P}_L=\overline{P}_C=0$。
结论：纯电感和纯电容的有功电阻都为零，都不消耗能量，只不断地与电源交换能量；对功率有贡献的只是有功电阻，且介质损耗相当于具有等效的有功电阻。
注意：功率是两个简谐量的乘积，不能用复电压和复电流的乘积代替。

二、功率因数

$\cos\varphi$ 称为功率因数（用 $\lambda$ 表示）；电能输送中提高用电器的功率因数具有非常重要的作用。
把电流矢量 $\boldsymbol{I}$ 分解为平行 $\boldsymbol{U}$ 的 $\boldsymbol{I}_{\parallel}$ 和垂直的 $\boldsymbol{I}_{\perp}$：有功功率 $P_{\text{有功}}=UI\cos\varphi=\overline{P}$；无功功率 $P_{\text{无功}}=UI\sin\varphi$；$I_{\parallel}$、$I_{\perp}$ 称有功电流、无功电流；无功功率单位用乏和千乏（1 千乏 = $10^3$ 乏）。
物理意义：无功功率反映电源与电感、电容间能量交换的程度；总电流中只有有功分量有用，无功电流把能量送出又送回、是无益循环，但两分量在输电线中都有焦耳热损耗——消除办法是提高 $\cos\varphi$，还能减小线路电压损失。
视在功率：$S=UI=\sqrt{P_{\text{有功}}^2+P_{\text{无功}}^2}$，是设备在 $\cos\varphi=1$ 时消耗（提供）的功率，以额定电压与额定电流的乘积衡量；单位用伏安和千伏安（1 千伏安 = $10^3$ 伏安）。
功率三角形：$S$（斜边）、$P_{\text{有功}}$（邻边，夹角 $\varphi$）、$P_{\text{无功}}$（对边）构成直角三角形，知二求二。
工程讨论：设备铭牌上的容量即视在功率的额定值；发电机容量标志发电潜力，实际输出与用电器 $\cos\varphi$ 密切相关——提高功率因数，除减小线路焦耳热损耗外，还可使电力设备的潜力充分发挥。
提高功率因数的方法：电动机、日光灯等常见用电器都是电感性的，可用并联电容提高功率因数——无功电流只在电感性和电容性支路中循环，输电线和电源电流基本无无功分量；相同电压下以较小电流输送同样功率

【例17-6】 RLC 串联（$R=30\ \Omega$、$L=126\ \mathrm{mH}$、$C=40\ \mu\mathrm{F}$、$u=311\cos(314t+30^\circ)\ \mathrm{V}$）→ $\tilde Z=R+j\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)=50e^{-j53.13^\circ}\ \Omega$（容性），$I=4.4\ \mathrm{A}$ → $P_{\text{有功}}=UI\cos\varphi=5.8\times10^2\ \mathrm{W}$，$P_{\text{无功}}=-7.7\times10^2$ 乏（负值说明电容性），$S=UI=9.68\times10^2$ 伏安；改 $L=253.7\ \mathrm{mH}$ 后 $\tilde Z=30\ \Omega$（纯电阻性）：$P_{\text{有功}}=S=1.6\times10^3\ \mathrm{W}$，$P_{\text{无功}}=0$。

17.4 谐振电路

同时具有电容和电感两类元件的电路，在一定条件下会发生共振（谐振）现象，称共振电路（谐振电路）。

一、串联共振电路

RLC 串联矢量图解：取电流矢量 $\boldsymbol{I}$ 为基准，$\boldsymbol{U}_R$ 与 $\boldsymbol{I}$ 平行，$\boldsymbol{U}_L$ 垂直向上、$\boldsymbol{U}_C$ 垂直向下，$\boldsymbol{U}_L$ 与 $\boldsymbol{U}_C$ 方向恰好相反：$U=\sqrt{U_R^2+(U_L-U_C)^2}$，

$$Z=\frac{U}{I}=\sqrt{R^2+\Big(\omega L-\frac{1}{\omega C}\Big)^2},\qquad \varphi=\arctan\frac{\omega L-\frac{1}{\omega C}}{R}$$

共振现象：电压 $U$ 一定时，电流 $I=\dfrac{U}{\sqrt{R^2+\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)^2}}$；当电源频率满足 $\omega_0L=\frac{1}{\omega_0C}$，即

$$\omega_0=\frac{1}{\sqrt{LC}},\qquad f_0=\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$$

阻抗达极小值 $Z_0=R$，电流达极大值 $I_{\max}=\dfrac{U}{R}$——电流出现极大的现象称共振现象，$f_0$ 称共振频率

根源：因子 $\left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)$ 来源于 $u_L(t)$ 与 $u_C(t)$ 相位差为 $\pi$、任何时刻符号相反——串联共振电路所有特性的根源都在于此。
频率特性：低频 $f<f_0$ 容抗大于感抗，$\varphi<0$，电路呈电容性；共振时 $\varphi=0$，呈电阻性；高频 $f>f_0$ 感抗大于容抗，$\varphi>0$，呈电感性。

二、共振电路的品质因数

Q 值的一种定义（电压分配）：共振时 $U_R=I_{\max}R=U$，$U_L=I_{\max}Z_L=\frac{U}{R}\omega_0L$，$U_C=U_L$；共振时电感电压 $U_L$ 与总电压 $U$ 之比称品质因数：

$$Q=\frac{U_L}{U}=\frac{\omega_0L}{R}$$

总电压一定时 $Q$ 越高 $U_L$、$U_C$ 越大（共振时 $U_L=U_C=QU$，可能远大于总电压）；$Q$ 值是标志共振电路性能好坏的物理量

频率选择性：共振电路常用于选择讯号。通频带宽度 $\Delta f=f_2-f_1$，其中 $I(f_1)=I(f_2)=\frac{I_{\max}}{\sqrt2}$（电流降到极大值 $1/\sqrt2$ 处对应的两个频率）；可证 $\Delta f=\dfrac{f_0}{Q}$——$Q$ 越大，$\Delta f$ 越小，共振峰越尖锐，频率选择性越好。
储能与耗能：电阻是耗能元件，电感和电容是储能元件。一周期内电阻损耗 $W=I^2RT$；总储能 $W_{LC}=\frac12 Li^2(t)+\frac12 Cu_C^2(t)$；共振状态下（$\omega=\omega_0$）两项系数相等，$W_{LC}=LI^2$，总储能不再随时间起伏、不再与外界交换，外电路需不断输入有功功率补偿电阻损耗。由 $\frac{W_{LC}}{W_R}=\frac{Q}{2\pi}$ 得 $Q$ 的另一种定义：

$$Q=2\pi\frac{W_{LC}}{W_R}$$

$Q$ 等于储存的能量与每周期消耗能量之比的 $2\pi$ 倍；$Q$ 越高，相对储能的耗散越少，储能效率越高。

三、并联共振电路

电路：电感 $L$ 与电阻 $R$ 串联的支路再与电容 $C$ 并联。复数法得等效复阻抗 $\tilde Z=\left(\frac{1}{R+j\omega L}+j\omega C\right)^{-1}=\frac{R+j\omega L}{1-\omega^2LC+j\omega CR}$，即

$$Z=\sqrt{\frac{R^2+(\omega L)^2}{(1-\omega^2LC)^2+(\omega CR)^2}},\qquad \varphi=\arctan\frac{\omega L-\omega C\big[R^2+(\omega L)^2\big]}{R}$$

四条性质：
1. 总电流和等效阻抗 $Z$ 的频率特性与串联共振电路相反：在 $f_0’$ 处电流 $I$ 有极小值、阻抗 $Z$ 有极大值；在与 $f_0’$ 稍有不同的 $f_0$ 处才使 $\varphi=0$；
2. 相位差 $\varphi$ 的频率特性与串联共振正好相反：低频 $\varphi>0$ 呈电感性，高频 $\varphi<0$ 呈电容性，共振频率 $f_0$ 下 $\varphi=0$ 呈电阻性；共振角频率 $\omega_0=2\pi f_0=\sqrt{\dfrac{1}{LC}-\dfrac{R^2}{L^2}}$；
3. 并联共振时两分支电流 $I_C$、$I_L$ 几乎相等、相位几乎相差 $\pi$：尽管有很大的电流在 RLC 闭合回路中往复循环，外电路总电流 $I$ 却很小；
4. 频率选择性与 $Q$ 值的关系与串联共振差不多：$Q$ 值越高，频率选择性越好。

17.5 三相交流电

一、产生

单相交流发电机：磁场匀速转动时，穿过线圈的磁通量不断变化，在线圈中产生简谐感应电动势。
三相交流发电机：大型发电机里不是一组线圈，而是三组匝数和大小都相同、彼此相隔 120° 角、独立地嵌在磁场周围的线圈；每一个绕组称一”相”，输出的电流和电压称三相交流电。A、B、C 为始端，X、Y、Z 为终端。
三绕组结构一样、位置相差 120°，故三相电压峰值和频率都相同，仅达峰时刻先后不同，彼此相位差 $\frac{2\pi}{3}$。忽略线圈内阻，取 $u_{AX}$ 相位为 0：

$$u_{AX}(t)=U_0\cos\omega t=\sqrt{2}\ U\cos\omega t,\quad u_{BY}(t)=\sqrt{2}\ U\cos\Big(\omega t-\frac{2\pi}{3}\Big),\quad u_{CZ}(t)=\sqrt{2}\ U\cos\Big(\omega t-\frac{4\pi}{3}\Big)$$

$U_0$ 为各相电压峰值（V），$U$ 为有效值（V），$U_0=\sqrt2\ U$；$\omega$ 为角频率（rad/s）。

二、相电压与线电压

三组线圈共六个抽头。为省电线，把三个终端 X、Y、Z 连在一起作公共端，引出地线（中线）；三个始端各引一根火线（端线）——三相四线制；中线接地只保留三根端线叫三相三线制。这种连接叫星形连接，符号 Y。
相电压 $U_\varphi$：任意一根火线与地线间的电压（每个绕组两端的 $U_{AO},U_{BO},U_{CO}$）；线电压 $U_L$：任意两根火线间的电压（$U_{AB},U_{BC},U_{CA}$）。
由矢量图：$\boldsymbol{U}_{AO}+\boldsymbol{U}_{BO}+\boldsymbol{U}_{CO}=0$；由绕组对称性可证三个线电压大小相等、相位差 $\frac{2\pi}{3}$，且

$$U_L=\sqrt{3}\ U_\varphi$$

常用数值：线电压 380 V（有效值），相电压 $380/\sqrt3=220$ V（有效值）

三、负载的连接

负载的星形连接：每相电流按单相电路计算法逐相求得：$I_a=\frac{U_a}{Z_a}$，$I_b=\frac{U_b}{Z_b}$，$I_c=\frac{U_c}{Z_c}$（$Z$ 为每相负载阻抗，$U$ 为每相负载两端电压，均取相应单位）；端线电流即相应相的负载电流（线电流＝相电流）；相位差 $\varphi_a=\arctan\frac{X_a}{R_a}$ 等（$X$—电抗，$R$—电阻，Ω）。
三个相电流间存在相位差，中线电流一般总小于端线电流，中线截面可减小——四根导线比六根经济得多（这就是三相电路要互相连接使用的原因）。
对称负载（均衡负载）：每相负载电阻各各相等、电抗也各各相等的三个负载。对对称负载可证中线 $OO’$ 中没有电流，中线完全不必要，去掉中线即三相三线电路；中线电流为零正源于三个相电流间的 120° 相位差——这也是把三个相同线圈按彼此相差 120° 安置的道理。
必须注意：不对称情况下中线有均衡电压的作用，不能省去，否则会产生极其不良的后果；为避免中线单独断开，中线上既不能装设保险丝，也不能单独装上开关
负载的三角形连接：端线电流 $I_A,I_B,I_C$，相电流 $I_{ab},I_{bc},I_{ca}$。负载中每个相电压总等于对应的线电压，各有定值、不受负载阻抗值影响（与不具中线的星形连接不同，后者每相负载电压随阻抗变化）：$I_{ab}=\frac{U_{ab}}{Z_{ab}}$，$I_{bc}=\frac{U_{bc}}{Z_{bc}}$，$I_{ca}=\frac{U_{ca}}{Z_{ca}}$；相电流与相电压的相位差仍按 $\varphi=\arctan\frac{X}{R}$ 求得。
电源与负载接法可以不同：电源星形连接时负载可星形也可三角形；电源三角形连接时负载可三角形也可星形。但需要中线的负载做星形连接不合适——电源三角形连接时没有中线可引出。

四、三相交流电的优点

输配电的经济性：输电线材料用量由根数、长度、截面积共同决定；远距离（数十至数百公里）传输大量功率时，三相制常可节省数十吨甚至更多金属。
电力应用的优越性：三相交流电通入电动机三相线圈产生匀速旋转的恒定磁场；因对称三相电路功率恒定，三相电动机转矩恒定，运行性能好、效率较高、成本低。单相交流电产生振荡磁场（大小方向都随时间变动）、功率有振荡性，运行性能较差、效率较低；三相电动机（主要是感应电动机）广泛应用，单相电动机只用于特殊情况及功率很小的条件（电扇、电唱机等）。
电机制造的经济性：等量材料下三相发电机额定容量比单相大；同容量下三相发电机省材、便宜；同功率下三相电动机也便宜。
结论：三相制已成为电力工程上的标准制。

章末阅读材料

⑥ 等离子体技术及其应用：等离子体是由电子、离子、中性粒子组成的电离气体，属物质的高能凝聚态，因含大量带电粒子而与普通气体有本质区别，物理基础包括电离度、两种温度（$T_e$、$T_i$）、准电中性、朗缪尔振荡、集体效应，在军事上（隐身、通信探测、电热炮、拦截、航天推进等）前景广阔。关键公式——萨哈方程（热力学平衡下电离度与温度的关系）$\dfrac{n_i}{n_0}\approx 2.4\times10^{21}\dfrac{T^{3/2}}{n_i}\mathrm{e}^{-\Delta E/kT}$；德拜长度（准电中性判据，系统几何线度须远大于它）$\lambda_D=\sqrt{\dfrac{\varepsilon_0 kT_e}{ne^2}}$。
⑦ 遥感技术：在远离被测目标处对目标特性进行测量和记录的信息技术，分主动遥感（如侧视雷达）与被动遥感；工作波段须选在大气窗口内——可见光 0.40～0.76 μm（分辨率最高但需光照）、红外 0.75～15 μm（昼夜可工作不透云雾）、微波 1 mm～1 m（全天候、对地表穿透力强），以地物波谱特性为设计遥感器和判读图像的依据；应用于气象、地学、农林牧、环境污染测量与军事。
光学：研究光的本性、光的发射传播和接收、光与物质相互作用的学科，兼具基础性与应用性。
认识简史：17 世纪下半叶牛顿微粒说（沿直线飞行的微粒流；能说明直线传播、解释反射与折射，但得出”水中光速更大”的错误结论）；10 年后惠更斯波动说（光是以太中机械振动的传播）；19 世纪初托马斯·杨双缝干涉实验与直边衍射为波动说提供实验依据，1815—1826 年菲涅耳完成波动说理论；19 世纪中叶麦克斯韦电磁波理论——可见光是波长 $400\sim760\ \mathrm{nm}$ 的电磁波；19 世纪末 20 世纪初共振荧光、黑体辐射、光电效应等新实验使电磁理论遇困难，1905 年爱因斯坦光子假说——光具有波粒二象性。
分支：几何光学（以光的直线传播为基础，研究光在透明介质中的传播）、波动光学（干涉、衍射、偏振）、量子光学，后两者统称物理光学；20 世纪 60 年代激光的发现推动全息、光信息处理、光纤等技术。

18.1 几何光学的基本定律

一、几何光学的基本定律

几何光学以下列实验定律为基础建立，是光学仪器设计的理论依据。

1. 光的直线传播定律：光在真空或均匀媒质中沿直线传播。
2. 光的独立传播定律：来自不同方向或不同物体的光线相交，对每条光线的独立传播没有影响。
3. 光的反射与折射定律：设媒质 1、2 透明、均匀、各向同性，分界面为平面；入射线、法线、反射线、折射线共面，入射角 $i_1$、反射角 $i_1’$、折射角 $i_2$ 均从法线量起。则：
- (1) 反射线与折射线均在入射面内；
- (2) 反射角等于入射角：$i_1’ = i_1$；
- (3) 入射角与折射角正弦之比与入射角无关，是与媒质有关的常数：

$$\frac{\sin i_1}{\sin i_2} = \frac{n_2}{n_1} = n_{12}\quad\Leftrightarrow\quad n_1 \sin i_1 = n_2 \sin i_2$$

$n_{12}$ 称第 2 种媒质相对第 1 种媒质的折射率；由 $n_1 = \dfrac{c}{v_1}$、$n_2 = \dfrac{c}{v_2}$（$c$ 为真空光速）得 $\dfrac{\sin i_1}{\sin i_2} = \dfrac{v_1}{v_2}$

适用条件：几何光学定律是实验规律、是近似的，只在反射面和折射面的尺寸远大于入射光波长时成立。

二、全反射

定义：光由光密媒质（折射率大）射向光疏媒质（折射率小）时折射角大于入射角；入射角达临界角 $i_c$ 时折射角为 $90^{\circ}$，再增大则无对应折射角，光完全反射回光密媒质——全反射。
临界角公式（$n_1>n_2$）：

$$i_c = \arcsin\frac{n_2}{n_1}$$

典型数值：玻璃（$n_1=1.5$）→ 空气 $i_c=42^{\circ}$；水 → 空气约 $49^{\circ}$
应用——光导纤维：利用全反射使光沿弯曲路径传播；直径约几微米的玻璃（或塑料）纤维外包低折射率介质，光经多次全反射从一端传到另一端，能量损失非常小。

18.2 光在球面上的反射和折射

一、实像与虚像实物与虚物

同心光束：各光线本身或其延长线相交于同一点的光束。
光具组：变换入射同心光束的反射面或折射面的组合。
物点：入射同心光束的中心。入射为发散同心光束时，发散中心 $Q$ 称实物；入射为会聚同心光束时，会聚中心 $Q$ 称虚物。
像点：入射同心光束经理想光学系统后出射仍为同心光束，其中心 $Q’$ 称像点：出射光束会聚时 $Q’$ 为实像；发散时 $Q’$ 为虚像。
理想光具组：能使任何同心光束保持同心性的光具组。
共轭点：物点 $Q$ 与像点 $Q’$ 一一对应；由光路可逆性原理，$Q$ 与 $Q’$ 位置互置，称共轭点

附录：考试重点速查

知识点	频率	题型
高斯定理求场强（球对称/柱对称/面对称）	⭐⭐⭐⭐⭐	大题
电势的定义、叠加与计算	⭐⭐⭐⭐⭐	大题
导体静电平衡 + 电容器电容计算	⭐⭐⭐⭐	计算
介质中 $\boldsymbol{D}$ 的高斯定理	⭐⭐⭐⭐⭐	大题
电场能量密度与静电场能量	⭐⭐⭐⭐	计算
毕奥—萨伐尔定律及典型磁场公式	⭐⭐⭐⭐⭐	计算
安培环路定理求磁场分布	⭐⭐⭐⭐⭐	大题
洛伦兹力 / 安培力受力分析	⭐⭐⭐⭐	计算+概念
霍耳效应	⭐⭐⭐	小题
磁介质中 $\boldsymbol{H}$ 的环路定理	⭐⭐⭐⭐	计算
法拉第电磁感应定律 + 楞次定律	⭐⭐⭐⭐⭐	大题
动生电动势 / 感生电动势	⭐⭐⭐⭐⭐	大题
自感、互感与磁场能量	⭐⭐⭐⭐	计算
RL / RC 暂态过程与时间常数	⭐⭐⭐	小题+概念
位移电流	⭐⭐⭐	概念+小题
麦克斯韦方程组的物理意义	⭐⭐⭐⭐	概念
交流电三要素与有效值	⭐⭐⭐⭐	小题
RLC 串并联阻抗（矢量图解/复数法）	⭐⭐⭐⭐	计算
串联谐振条件与品质因数	⭐⭐⭐⭐	计算+概念
功率因数及其提高	⭐⭐⭐	计算
三相交流电星形/三角形连接	⭐⭐⭐	计算
全反射与临界角	⭐⭐⭐	小题

祝考试顺利！