概率论与数理统计 — 完整复习笔记
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教材：范益政、郑婷婷、陈华友《概率论与数理统计》（科学出版社）。本笔记按教材章节逐节整理，覆盖全部定义、定理、公式与经典例题，星号 标出考试高频重点，并给初学者补充了”人话”理解。
全书地图：前 5 章是概率论（从”事件”到”随机变量”到”数字特征”到”极限定理”），后 3 章是数理统计（用样本反过来推断总体：估计 + 检验）。一条主线：概率论回答”如果分布已知会怎样”，数理统计回答”分布未知时如何用数据猜”。
1.1 随机事件
基本概念
- 确定性现象：一定条件下必然出现（太阳从东方升起）；随机现象：事先无法预知结果（抛硬币）。
- 统计规律性：随机现象在大量重复试验中表现出的固有规律——概率论研究的就是它。
- 随机试验 $E$：可重复进行、所有可能结果事先已知、单次结果无法预言。
- 样本点 $\omega$：试验的每一个可能结果；样本空间 $\Omega$：样本点的全体。
- 注意 ：样本空间不唯一。比如”某地气温”可以取 $\Omega=(-\infty,+\infty)$，也可以取 $\Omega={(x,y)\mid T_0\le x\le y\le T_1}$（最低温、最高温的数对）——选一个方便解题的就好。
- 随机事件：样本空间 $\Omega$ 的子集，常用 $A,B,C$ 表示；某次试验中 $A$ 里的某个样本点出现了，就称”事件 $A$ 发生”。
- 必然事件 $\Omega$（一定发生）、不可能事件 $\varnothing$（一定不发生）、基本事件（只含一个样本点）。
事件的关系与运算
| 关系/运算 | 记号 | 含义 |
|---|---|---|
| 和（并） | $A\cup B$ | $A,B$ 至少一个发生 |
| 积（交） | $A\cap B=AB$ | $A,B$ 同时发生 |
| 差 | $A-B$ | $A$ 发生而 $B$ 不发生 |
| 对立事件 | $\overline{A}=\Omega-A$ | $A$ 不发生 |
| 包含 | $A\subset B$ | $A$ 发生必导致 $B$ 发生 |
| 互斥 | $AB=\varnothing$ | 不能同时发生（此时 $A\cup B$ 记作 $A+B$） |
运算律（做题的肌肉记忆）：
- 交换律、结合律（和普通加乘一样）
- 分配律：$A\cup BC=(A\cup B)(A\cup C)$；$A(B\cup C)=AB\cup AC$
- 德摩根律 ：$\overline{A\cup B}=\overline{A},\overline{B}$，$\overline{AB}=\overline{A}\cup\overline{B}$（“长横线拆开，∪与∩互换”）
【教材例1.1.6】用运算表示事件（设 $A,B,C$ 为三个事件）：
- 都发生：$ABC$
- 恰好发生一个：$A\overline{B},\overline{C}+\overline{A}B\overline{C}+\overline{A},\overline{B}C$
- 恰好发生两个：$AB\overline{C}+A\overline{B}C+\overline{A}BC$
- 至少发生一个：$A\cup B\cup C$（也可写成 $\overline{\overline{A},\overline{B},\overline{C}}$，“都不发生”的对立）
- $A$ 发生而 $B,C$ 不发生：$A\overline{B},\overline{C}$，即 $A-(B\cup C)$
- $A,B$ 发生而 $C$ 不发生：$AB\overline{C}$，即 $AB-ABC$
初学者提示：见到”至少""恰好""都不”先翻译成事件的和差交，再化简。“至少一个”用并、“恰好 k 个”拆成互斥项之和是标准套路。
1.2 频率与概率
频率与频率的稳定性
定义1.2.1：$n$ 次试验中事件 $A$ 发生的次数 $n_A$ 叫频数，$f_n(A)=\dfrac{n_A}{n}$ 叫频率。频率满足：$0\le f_n(A)\le1$，$f_n(\Omega)=1$，互不相容事件的频率可加。
抛硬币实验（教材表1.2.1）：$n=5$ 时频率乱跳，$n=500$ 时频率都挤在 0.5 附近；历史上蒲丰 4040 次得 0.5069、皮尔逊 24000 次得 0.5005。频率的稳定性：$n$ 很大时 $f_n(A)$ 稳定于某个常数 $p$ 附近。
概率的定义
统计定义：频率稳定所在的常数 $p$ 称为概率 $P(A)=p$。缺点：$p$ 的存在性需要理论保证（第5章大数定律补上）。价值：提供估计概率的方法和检验理论的准则。
定义1.2.3（公理化定义） ：$P(A)$ 是定义在事件族上的实值函数，满足三条公理：
- 非负性：$P(A)\ge0$
- 规范性：$P(\Omega)=1$
- 可列可加性：$A_1,A_2,\cdots$ 两两互不相容时 $P\Big(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\Big)=\sum_{i=1}^{\infty}P(A_i)$
配上 $\sigma$-代数（对补、可列并封闭的事件族 $\mathcal F$），三元组 $(\Omega,\mathcal F,P)$ 称为概率空间。
概率的性质（全部由三公理推出）
- $P(\varnothing)=0$
- 有限可加性：两两互不相容时 $P(\bigcup_{i=1}^nA_i)=\sum_{i=1}^nP(A_i)$
- 减法公式：$P(B-A)=P(B)-P(AB)$；特别地 $A\subset B$ 时 $P(B-A)=P(B)-P(A)$
- 单调性：$A\subset B\Rightarrow P(A)\le P(B)$
- $P(A)\le1$；对立公式：$P(\overline{A})=1-P(A)$
- 加法公式 ：$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$
- 三事件推广：$P(A\cup B\cup C)=\sum P - \sum P(AB) + P(ABC)$
- 容斥公式（$n$ 个事件）：$P(\bigcup_{i=1}^nA_i)=\sum P(A_i)-\sum_{i<j}P(A_iA_j)+\cdots+(-1)^{n-1}P(A_1\cdots A_n)$
- 次可加性：$P(\bigcup A_i)\le\sum P(A_i)$
【教材例1.2.2】 已知 $P(\overline{A})=0.5$，$P(\overline{A}B)=0.2$，$P(B)=0.4$： $P(AB)=P(B)-P(\overline{A}B)=0.2$；$P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.3$；$P(A\cup B)=0.7$；$P(\overline{A},\overline{B})=1-P(A\cup B)=0.3$。
古典概型
两个特征：①样本空间有限；②每个样本点等可能发生。
$$P(A)=\frac{A\ \text{包含的样本点数}}{\Omega\ \text{包含的样本点数}}$$
【教材例1.2.5 抽签公平性】 袋中 $a$ 白 $b$ 红，$k$ 人依次取一球，无论放回与否、无论第几个取，取到白球的概率都是 $\dfrac{a}{a+b}$——抽签与次序无关（买彩票人人机会均等）。
【教材例1.2.6 分配问题/生日问题】 $n$ 个人等可能分到 $N$ 个房间（$N>n$）：
- 指定的 $n$ 个房间各住一人：$p_1=\dfrac{n!}{N^n}$
- 恰有 $n$ 个房间各住一人：$p_2=\dfrac{\mathrm{A}_N^n}{N^n}=\dfrac{N(N-1)\cdots(N-n+1)}{N^n}$
同模型的生日问题：$n$ 个人中至少两人生日相同的概率
$$p=1-\frac{365\times364\times\cdots\times(365-n+1)}{365^n}$$
| $n$ | 20 | 23 | 30 | 40 | 50 | 64 | 100 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| $p$ | 0.411 | 0.507 | 0.706 | 0.891 | 0.970 | 0.997 | 0.9999997 |
n=23 就过半，64 人的班级几乎必然有人同生日——反直觉但真实。
【教材例1.2.7 抽样问题/超几何公式】 $N$ 件产品含 $D$ 件次品，任取 $n$ 件恰有 $k$ 件次品：
$$p=\frac{\dbinom{D}{k}\dbinom{N-D}{n-k}}{\dbinom{N}{n}}\tag{超几何分布概率公式}$$
【教材例1.2.8 配对问题】 $N$ 个人随机拿帽子：
- 没人拿到自己帽子的概率：$1-1+\dfrac{1}{2!}-\dfrac{1}{3!}+\cdots+(-1)^N\dfrac{1}{N!}\approx e^{-1}\approx0.3678$
- 恰有 $k$ 人拿到自己帽子：$\dfrac{1-1+\frac{1}{2!}-\cdots+(-1)^{N-k}\frac{1}{(N-k)!}}{k!}\approx\dfrac{e^{-1}}{k!}$（与泊松分布挂钩）
关键工具是容斥公式：$P(E_{i_1}\cdots E_{i_n})=\dfrac{(N-n)!}{N!}$，求和项合并后 $\binom{N}{n}\dfrac{(N-n)!}{N!}=\dfrac{1}{n!}$。
【教材例1.2.16 会面问题（几何概型代表）】 甲乙约定 7~8 点见面，先到者等 20 分钟。设两人到达时刻为 $x,y\in[0,60]$，能会面即 $|x-y|\le20$：
$$P(A)=\frac{60^2-40^2}{60^2}=\frac{5}{9}$$
几何概型
样本点不可列但”均匀”时，用几何度量代替计数：
$$P(A)=\frac{m(A)}{m(\Omega)}\tag{m 为长度/面积/体积}$$
概率与 $A$ 的测度成正比，与位置、形状无关。几何概型是古典概型向无穷样本点的推广。
【教材例1.2.11 小概率原理】 12 次接待全在周二/周四，若随机则概率 $\dfrac{2^{12}}{7^{12}}=0.0000003$——小概率事件在一次试验中几乎不发生，居然发生了 → 有理由怀疑假设，推断接待时间有规定。小概率原理是第 8 章假设检验的灵魂。
1.3 条件概率、全概率公式和贝叶斯公式
条件概率与乘法公式
定义1.3.1 ：$P(A)>0$ 时，
$$P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$$
直观：把样本空间缩小到”已知 $A$ 发生”的世界里重新算概率。
条件概率也是概率：$P(\cdot|A)$ 同样满足三公理，所以减法、加法、对立公式全部适用：$P(\overline{B}|A)=1-P(B|A)$ 等。
定理1.3.1（乘法公式）：$P(AB)=P(A)P(B|A)$；推广：
$$P(A_1A_2\cdots A_n)=P(A_1)P(A_2|A_1)\cdots P(A_n|A_1A_2\cdots A_{n-1})$$
【教材例1.3.4 透镜】 三次落下打破的概率依次为 1/2、7/10、9/10，三次都未打破：
$$P=(1-\tfrac12)(1-\tfrac7{10})(1-\tfrac9{10})=\frac{3}{200}$$
全概率公式与贝叶斯公式
定义1.3.2（划分）：$B_1,\cdots,B_n$ 两两互斥且 $\bigcup B_i=\Omega$（把样本空间切成互不重叠的几块）。
定理1.3.2（全概率公式）：$P(B_i)>0$ 时，
$$P(A)=\sum_{i=1}^{n}P(B_i)P(A|B_i)$$
定理1.3.3（贝叶斯公式）：$P(A)>0$ 时，
$$P(B_i|A)=\frac{P(A|B_i)P(B_i)}{\displaystyle\sum_{j=1}^{n}P(A|B_j)P(B_j)}$$
一句话理解：全概率公式是”由因推果”（知道各种原因的发生概率和原因下结果的概率，求结果的概率）；贝叶斯公式是”由果溯因”（结果已经发生，反推是哪种原因导致的）。$P(B_i)$ 叫先验概率（事前的判断），$P(B_i|A)$ 叫后验概率（见到证据后修正的判断）。
【教材例1.3.6 机器调整】 调整良好时合格率 98%，故障时 55%，故障率 5%。第一件产品合格，求机器良好的概率：
$$P(B|A)=\frac{0.98\times0.95}{0.98\times0.95+0.55\times0.05}\approx0.97$$
【教材例1.3.7 癌症普查（必考易错）】 $P(A|C)=0.95$，$P(\overline{A}|\overline{C})=0.95$，$P(C)=0.005$：
$$P(C|A)=\frac{0.95\times0.005}{0.95\times0.005+0.05\times0.995}\approx0.087$$
$P(A|C)\ne P(C|A)$：试验灵敏度 95% ≠ 阳性者真患病概率 8.7%！混淆两者会造成误诊——因为普通人患病率极低，假阳性的人数远超真阳性。
1.4 事件的独立性
两个事件的独立
定义1.4.1：满足 $P(AB)=P(A)P(B)$ 则称 $A,B$ 相互独立。
直观理解：$A$ 发不发生都不影响 $B$ 发生的概率。用乘积式定义是为了避开 $P(A)=0$ 时条件概率没定义的情况。
关键性质：
- $\Omega$、$\varnothing$ 与任何事件独立
- 独立与互斥不能同时成立（$P(A),P(B)>0$ 时）：互斥是”你死我活”的强关联，独立是互不干扰，初学者最易混
- $P(A)>0$ 时，独立 $\iff P(B|A)=P(B)$
- 四命题等价：$A,B$ 独立 $\iff A,\overline{B}$ 独立 $\iff \overline{A},B$ 独立 $\iff \overline{A},\overline{B}$ 独立
多个事件的独立
- 三个事件两两独立：$P(AB)=P(A)P(B)$，$P(BC)=P(B)P(C)$，$P(AC)=P(A)P(C)$ 三式全成立
- 相互独立：两两独立 且 $P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$。两两独立 ⇏ 相互独立
- $n$ 个事件相互独立：对任意非空子集 $S$，$P\big(\prod_{i\in S}A_i\big)=\prod_{i\in S}P(A_i)$
- 相互独立 ⇒ 任意 $k$ 个也独立；把其中若干个换成对立事件，仍相互独立
【教材例1.4.2 串并联系统】 元件 1、2 串联为线路 I，3、4 串联为线路 II，两线路并联，可靠性 $p_1,p_2,p_3,p_4$：
$$P(A)=P(A_1A_2\cup A_3A_4)=p_1p_2+p_3p_4-p_1p_2p_3p_4$$
伯努利概型
- 伯努利试验：只有两种结果（$A$ 与 $\overline{A}$）；$n$ 重伯努利试验：独立重复 $n$ 次。
- 首次发生：第 $k$ 次才首次发生 $A$：$P(B_k)=(1-p)^{k-1}p$
- 二项概率公式：$n$ 次中 $A$ 恰发生 $k$ 次：
$$b(k;n,p)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},\qquad k=0,1,\cdots,n$$
正是 $(p+q)^n$（$q=1-p$）展开式中含 $p^k$ 的项——第 2 章二项分布由此而来。
【教材例1.4.4 导弹】 单发命中 0.96，$1-(0.04)^n>0.999$ 解得 $n=3$，发射 3 枚即可。
2.1 随机变量与分布函数
随机变量
定义2.1.1：定义在 $\Omega$ 上的实值函数 $X=X(\omega)$，若对任意实数 $x$，${\omega\mid X(\omega)\le x}$ 是事件（可测集），则 $X$ 为随机变量。记号 ${X\le x}$ 就表示”X 的取值不超过 x”这个事件。
一句话理解：随机变量就是给每个随机结果贴一个数字标签，把”文字世界”（正面/反面）变成”数字世界”（1/0），数学工具才能进场。
分布函数
定义2.1.2：
$$F(x)=P(X\le x),\qquad -\infty<x<+\infty$$
定理2.1.1（三条基本性质，充要条件）：
- 单调不减：$x_1<x_2\Rightarrow F(x_1)\le F(x_2)$
- 规范性：$F(-\infty)=0$，$F(+\infty)=1$
- 右连续：$\lim\limits_{x\to x_0^+}F(x)=F(x_0)$
满足这三条的函数必是某个随机变量的分布函数。
定理2.1.2（用 $F$ 表示各种概率，背熟）：记 $F(a^-)=\lim_{x\to a^-}F(x)$：
| 概率 | 用 $F$ 表示 |
|---|---|
| $P(X\le a)$ | $F(a)$ |
| $P(X<a)$ | $F(a^-)$ |
| $P(X>a)$ | $1-F(b)$（即 $1-F(b)$ 对 $X>b$） |
| $P(X=a)$ | $F(a)-F(a^-)$ |
| $P(a<X\le b)$ | $F(b)-F(a)$ |
| $P(a\le X\le b)$ | $F(b)-F(a^-)$ |
| $P(a<X<b)$ | $F(b^-)-F(a)$ |
分布函数完全刻画了随机变量——知道 $F$ 就知道一切概率。
2.2 离散型随机变量及其分布
定义2.2.1（分布律）：$p_i=P(X=x_i)$，写成 $\begin{pmatrix}x_1&x_2&\cdots\ p_1&p_2&\cdots\end{pmatrix}$，满足 ① $p_i\ge0$；② $\sum p_i=1$。分布函数 $F(x)=\sum_{x_i\le x}p_i$ 是阶梯函数，在 $x_i$ 处的跳跃度恰为 $p_i$。
【教材例2.2.1】 $P(X=i)=\left(\frac23\right)^ia$：由 $\sum=1$ 得 $a=\frac12$；$P(X=2)=\frac29$，$P(1\le X\le3)=\frac{19}{27}$，$P(X\le2.5)=\frac59$。
【教材例2.2.2 反向题】 由阶梯形 $F(x)$（跳跃点 $-1,1,3$，跳跃度 $0.4,0.4,0.2$）反求分布律 $\begin{pmatrix}-1&1&3\0.4&0.4&0.2\end{pmatrix}$——用 $P(X=a)=F(a)-F(a^-)$。
六种常见离散分布
① 退化分布：只取一个值，$\begin{pmatrix}a\1\end{pmatrix}$。
② 两点分布（0-1 分布）：$P(X=1)=p$，$P(X=0)=1-p$。一次伯努利试验中 $A$ 发生的次数。
③ 二项分布 $B(n,p)$ ：$n$ 重伯努利试验中 $A$ 发生的次数：
$$P(X=k)=\binom{n}{k}p^kq^{n-k},\qquad k=0,1,\cdots,n,\ q=1-p$$
④ 几何分布 $G(p)$：试验做到 $A$ 首次发生为止，所需次数：
$$P(X=k)=q^{k-1}p,\qquad k=1,2,\cdots$$
无记忆性 ：$P(X>m+n\mid X>m)=P(X>n)$（等了 m 次没发生，白等，像重新开始）。
⑤ 超几何分布：$N$ 白球 $M$ 黑球不放回取 $n$ 个，白球数：
$$P(X=k)=\frac{\dbinom{N}{k}\dbinom{M}{n-k}}{\dbinom{N+M}{n}}$$
$N,M$ 很大而 $n$ 相对小时，不放回 ≈ 放回，可用二项分布近似。
⑥ 泊松分布 $P(\lambda)$ ：
$$P(X=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},\qquad k=0,1,2,\cdots,\ \lambda>0$$
背景：电话呼叫数、候车人数、火灾次数等”单位时间内随机事件数”。
定理2.2.1（泊松定理）：$\lambda>0$，$np_n\to\lambda$，则 $\dbinom{n}{k}p_n^k(1-p_n)^{n-k}\to\dfrac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$。
实用结论：$n$ 大、$p$ 小、$np=\lambda$ 适中时，$B(n,p)\approx P(\lambda)$。
【教材例2.2.5 进货问题】 月销量 $X\sim P(10)$：95% 以上把握不脱销需 $\sum_{k=0}^{s}\frac{10^k}{k!}e^{-10}\ge0.95$，查表 $s=15$，至少进货 15 件。
【教材例2.2.7 装箱问题】 次品率 0.01，装 $100+s$ 件使正品不少于 100 件的概率 ≥95%：$P(X\le s)\approx\sum_{k=0}^{s}\frac1{k!}e^{-1}\ge0.95$，$s=3$，至少装 103 件。
2.3 连续型随机变量及其分布
定义2.3.1：若存在非负函数 $f(x)$ 使 $F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t),\mathrm dt$，则 $X$ 为连续型随机变量，$f(x)$ 为概率密度函数。
密度的两条性质：① $f(x)\ge0$；② $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x),\mathrm dx=1$（反之，满足两条即为某个密度）。
核心区别 ：连续型随机变量 $P(X=x)=0$！所以开闭区间无所谓：
$$P(a\le X\le b)=P(a<X<b)=F(b)-F(a)=\int_a^bf(x),\mathrm dx$$
初学者提示：密度 $f(x)$ 不是概率，$f(x)$ 大只说明 x 附近取值”密集”；概率是密度下的面积。$F$ 在 $f$ 的连续点满足 $F’(x)=f(x)$；密度在个别点的取值可以随意改（不影响积分）。
六种常见连续分布
① 均匀分布 $U(a,b)$：
$$f(x)=\frac{1}{b-a}\ (a<x<b);\qquad F(x)=\frac{x-a}{b-a}$$
② 指数分布 $E(\lambda)$ ：
$$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\ (x>0)$$
描述等待时间、寿命。可由泊松模型导出：$[0,t]$ 内受击次数 $\sim P(\lambda t)$，则寿命 $P(T\le t)=1-e^{-\lambda t}$。
无记忆性：$P(X>r+s\mid X>s)=P(X>r)$（用过的 s 小时白用）。
③ 正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$ （重中之重）：
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi},\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}},\qquad x\in(-\infty,+\infty)$$
- 密度关于 $x=\mu$ 对称，$x=\mu$ 处最大值 $\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}$；“中间大、两头小”
- $\sigma$ 越大曲线越矮胖（取值越分散），$\mu$ 平移曲线位置
- $\mu=0,\sigma=1$ 为标准正态分布 $N(0,1)$，密度记 $\varphi(x)$，分布函数记 $\Phi(x)$
- $\Phi(x)$ 无初等表达式，只能查表；$\Phi(-x)=1-\Phi(x)$（负数查表公式）
定理2.3.1（标准化）：$X\sim N(\mu,\sigma^2)\Rightarrow Y=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$。
推论2.3.1：$F(x)=\Phi!\left(\dfrac{x-\mu}{\sigma}\right)$，一切正态概率计算都化为查标准正态表。
【教材例2.3.8 成绩排名】 成绩 $N(70,100)$，第 100 名 60 分 → $P(X\ge60)=\Phi(1)=0.8413$ → 总人数 $\approx119$；第 20 名 $P(X\ge x)=\frac{2}{119}$ → $x\approx79.6$ 分。
3σ 规则 ：
$$P(|X-\mu|<\sigma)=0.6827,\quad P(|X-\mu|<2\sigma)=0.9545,\quad P(|X-\mu|<3\sigma)=0.9973$$
正态变量几乎总落在 $(\mu-3\sigma,\mu+3\sigma)$ 内。
④ Γ 分布 $\Gamma(r,\lambda)$：$f(x)=\dfrac{\lambda^r x^{r-1}e^{-\lambda x}}{\Gamma(r)}\ (x>0)$，$\Gamma(r)=\int_0^{+\infty}x^{r-1}e^{-x}\mathrm dx$；$r=1$ 时即指数分布。
⑤ $\chi^2$ 分布：$f(x)=\dfrac{1}{2^{n/2}\Gamma(n/2)}x^{n/2-1}e^{-x/2}\ (x>0)$（第 6 章详述）。
⑥ 对数正态分布 $LN(\mu,\sigma^2)$：$f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma x}e^{-\frac{(\ln x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\ (x>0)$，金融资产价格建模常用。
2.4 随机变量的函数及其分布
已知 $X$ 的分布，求 $Y=g(X)$ 的分布。
离散型
把分布律里的 $x_i$ 换成 $g(x_i)$；相同函数值对应的概率要相加合并 。
【教材例2.4.1】 $X\sim\begin{pmatrix}-1&0&1\0.25&0.5&0.25\end{pmatrix}$：$Y_2=X^2\sim\begin{pmatrix}0&1\0.5&0.5\end{pmatrix}$（±1 对应的 1 合并）。
连续型
重要例2.4.2（概率积分变换）：$F(x)$ 严格单调增连续 $\Rightarrow Y=F(X)\sim U[0,1]$（模拟随机数的理论基础）。
定理2.4.1（单调情形公式）：$g$ 严格单调、反函数 $g^{-1}(y)$ 可导，则
$$\varphi_Y(y)=f\big(g^{-1}(y)\big),\big|\big(g^{-1}(y)\big)‘\big|,\qquad y\in(\alpha,\beta)$$
非单调时用”分布函数法” ：先求 $F_Y(y)=P(g(X)\le y)$（按 y 分段讨论，把事件翻译成 X 的范围），再求导得密度。
【教材例2.4.4】 $X\sim U(-1,1)$ 求 $Y=X^2$：$F_Y(y)=P(-\sqrt y\le X\le\sqrt y)=\sqrt y$（$0\le y<1$）→ $\varphi_Y(y)=\dfrac{1}{2\sqrt y}\ (0<y<1)$。
注意：$g(X)$ 未必是连续型（可能混合型），用分布函数法最稳妥。
3.1 多维随机变量及其联合分布
联合分布函数
定义3.1.2：二维 $(X,Y)$ 的联合分布函数
$$F(x,y)=P(X\le x,\ Y\le y)$$
矩形概率（式3.1.1）：
$$P{x_1<X\le x_2,\ y_1<Y\le y_2}=F(x_2,y_2)-F(x_1,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1)$$
$F(x,y)$ 的四条基本性质：① 对每个变量单调不减；② $F(x,-\infty)=F(-\infty,y)=F(-\infty,-\infty)=0$，$F(+\infty,+\infty)=1$；③ 对每个变量右连续；④ 矩形不等式（非负性）：上面矩形概率 $\ge0$。
易错 ：性质④不能由前三条推出，必须单独验证！反例（教材例3.1.1）：$F(x,y)=\begin{cases}0,&x+y<0\1,&x+y\ge0\end{cases}$ 满足①②③但 $F(1,1)-F(-1,1)-F(1,-1)+F(-1,-1)=-1<0$，不是分布函数。
二维离散型：联合分布律
$p_{ij}=P(X=x_i,Y=y_j)$，满足 $p_{ij}\ge0$，$\sum_i\sum_jp_{ij}=1$。
【教材例3.1.2 摸球】 $a$ 红 $b$ 白取两次（$X$、$Y$ 记两次是否红球）：放回时 $P(1,1)=(\frac{a}{a+b})^2$；不放回时 $P(1,1)=\frac{a(a-1)}{(a+b)(a+b-1)}$。
【教材例3.1.3】 从 14 等可能取 $X$，再从 1$X$ 等可能取 $Y$：$P(X=i,Y=j)=\frac14\cdot\frac1i$（$j\le i$），否则 0；$P(X=Y)=\frac14+\frac18+\frac1{12}+\frac1{16}=\frac{25}{48}$。
二维连续型：联合密度
定义3.1.4：$F(x,y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}f(u,v),\mathrm du,\mathrm dv$。性质：$f\ge0$，$\iint_{\mathbb R^2}f=1$，连续点 $\dfrac{\partial^2F}{\partial x\partial y}=f$，以及最重要的：
$$P\big((X,Y)\in G\big)=\iint_G f(x,y),\mathrm dx,\mathrm dy\tag{3.1.2}$$
【教材例3.1.4】 $f=k e^{-(4x+5y)}$（$x,y>0$）：归一性得 $k=20$；$F(x,y)=(1-e^{-4x})(1-e^{-5y})$。
常见多维分布
- 多项分布（二项的推广）：$P(X_1=k_1,\cdots,X_r=k_r)=\dfrac{n!}{k_1!\cdots k_r!}p_1^{k_1}\cdots p_r^{k_r}$，$\sum k_i=n$
- 多维超几何分布：$P=\dfrac{\binom{N_1}{k_1}\cdots\binom{N_r}{k_r}}{\binom{N}{n}}$
- n 维均匀分布 $U(G)$：$f=\dfrac{1}{S(G)}$（区域 $G$ 上）
- 二维正态分布 ：$(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)$，五个参数：
$$f(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_2\sqrt{1-\rho^2}}\exp\left{-\frac{1}{2(1-\rho^2)}\left[\frac{(x-\mu_1)^2}{\sigma_1^2}-\frac{2\rho(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}\right]\right}$$
3.2 边缘分布
边缘分布函数：$F_X(x)=F(x,+\infty)$，$F_Y(y)=F(+\infty,y)$。
离散型边缘分布律：$P(X=x_i)=p_{i\cdot}=\sum_jp_{ij}$（行和）；$P(Y=y_j)=p_{\cdot j}=\sum_ip_{ij}$（列和）。
连续型边缘密度 ：
$$f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y),\mathrm dy,\qquad f_Y(y)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y),\mathrm dx$$
核心结论：联合分布唯一确定边缘；边缘一般确定不了联合 。
- 教材例3.2.1：放回与不放回抽取的边缘分布律完全相同，但联合分布律不同——必须知道分量之间的联系
- 例3.2.4 二维正态的边缘：$X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$，$Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$，与 $\rho$ 无关！不同 $\rho$ 给出不同联合、相同边缘；且边缘都是正态的二维分布未必是二维正态
【教材例3.2.3】 $f=1$（区域 $0<x<1,|y|<x$）：$f_X(x)=2x\ (0<x<1)$；$f_Y(y)=1-|y|\ (|y|<1)$——积分限随区域变化是这里的全部技巧。
3.3 条件分布
离散型条件分布律：$P(Y=y_j)>0$ 时，
$$P(X=x_i\mid Y=y_j)=\frac{p_{ij}}{p_{\cdot j}}$$
连续型条件密度 ：注意 $P(Y=y)=0$，不能用条件概率定义直接算！通过极限（$y\le Y\le y+h$，$h\to0^+$）定义：$f_Y(y)>0$ 时，
$$f(x\mid y)=\frac{f(x,y)}{f_Y(y)},\qquad F(x\mid y)=\int_{-\infty}^{x}\frac{f(u,y)}{f_Y(y)},\mathrm du$$
乘法关系（对比第 1 章乘法公式）：
$$f(x,y)=f_X(x),f(y\mid x)=f_Y(y),f(x\mid y)$$
【教材例3.3.4】 $X\sim U(0,1)$，已知 $X=x$ 时 $Y\sim U(x,1)$：联合 $f(x,y)=\dfrac{1}{1-x}\ (0<x<y<1)$，边缘 $f_Y(y)=-\ln(1-y)\ (0<y<1)$——“由条件+边缘拼联合，再积分出另一边缘”的标准流程。
3.4 随机变量的独立性
定义3.4.1：$F(x_1,\cdots,x_n)=F_{X_1}(x_1)\cdots F_{X_n}(x_n)$ 则 $X_1,\cdots,X_n$ 相互独立。
等价条件 ：
- 离散型：$P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)$ 对一切取值成立
- 连续型：在联合密度的连续点处 $f(x,y)=f_X(x)f_Y(y)$
独立时联合与边缘互相唯一确定。
例3.4.4（二维正态核心结论）：$(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)$ 时，$X$ 与 $Y$ 独立 $\iff\rho=0$ 。
独立性带来的好消息（定理3.4.1/3.4.2）：
- $X_1,\cdots,X_n$ 独立 ⇒ 各自的函数 $f_1(X_1),\cdots,f_n(X_n)$ 仍独立
- 两个独立的随机向量，其子向量独立；各自的函数也独立
3.5 多维随机变量的函数的分布
离散型
$Z=g(X,Y)$：把每个 $(x_i,y_j)$ 换成 $g(x_i,y_j)$，函数值相同的概率求和。
离散卷积公式（式3.5.1）：$X,Y$ 独立取非负整数，$Z=X+Y$：
$$P(Z=k)=\sum_{i=0}^{k}P(X=i),P(Y=k-i)$$
可加性三兄弟（都要求独立，必背） ：
- 泊松：$X\sim P(\lambda_1),Y\sim P(\lambda_2)$ 独立 $\Rightarrow X+Y\sim P(\lambda_1+\lambda_2)$
- 二项（同 $p$）：$B(n,p)+B(m,p)\Rightarrow B(n+m,p)$
- 正态：$N(\mu_1,\sigma_1^2)+N(\mu_2,\sigma_2^2)\Rightarrow N(\mu_1+\mu_2,\sigma_1^2+\sigma_2^2)$；推广到线性组合：$\sum a_iX_i\sim N(\sum a_i\mu_i,\ \sum a_i^2\sigma_i^2)$（$a_i$ 不全为 0）
连续型：分布函数法
求 $Z=g(X,Y)$ 的密度：先写 $F_Z(z)=\iint_{g(x,y)\le z}f(x,y),\mathrm dx,\mathrm dy$（积分区域随 z 变化），分段算出 $F_Z$，再求导。
例3.5.3（瑞利分布的由来） $X,Y$ 独立 $\sim N(0,1)$，$Z=\sqrt{X^2+Y^2}$：极坐标积分 $F_Z(z)=1-e^{-z^2/2}\ (z\ge0)$，密度 $h(z)=ze^{-z^2/2}\ (z\ge0)$。
和的分布（卷积公式）
$Z=X+Y$：
- 一般情形：$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,z-x),\mathrm dx=\int_{-\infty}^{+\infty}f(z-y,y),\mathrm dy$
- 独立时（卷积公式） ：
$$f_Z(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x),f_Y(z-x),\mathrm dx=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(z-y),f_Y(y),\mathrm dy$$
【教材例3.5.5】 $X\sim U[0,1]$，$Y\sim E(1)$ 独立：$f_Z(z)=0\ (z\le0)$；$1-e^{-z}\ (0<z<1)$；$e^{-z}(e-1)\ (z\ge1)$——分段是关键。
商与积的分布（独立情形）
$$f_{X/Y}(z)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(zy),f_Y(y),|y|,\mathrm dy,\qquad f_{XY}(s)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x),f_Y!\left(\frac{s}{x}\right)\frac{1}{|x|},\mathrm dx$$
【教材例3.5.7】 $G=[0,2]\times[0,1]$ 上均匀分布，$S=XY$：$f_S(s)=\dfrac12(\ln2-\ln s)\ (0<s<2)$。
极值分布
$X_1,\cdots,X_n$ 相互独立，$M=\max$，$N=\min$：
$$F_M(z)=\prod_{i=1}^{n}F_{X_i}(z),\qquad F_N(z)=1-\prod_{i=1}^{n}\big[1-F_{X_i}(z)\big]$$
独立同分布 $F$ 时：$F_M=[F]^n$，$f_M=n[F]^{n-1}f$；$F_N=1-[1-F]^n$，$f_N=n[1-F]^{n-1}f$。
【教材例3.5.8】 $n$ 个独立 $E(\lambda)$：$\min{X_i}\sim E(n\lambda)$（min 仍是指数分布，参数变 $n\lambda$）；而 $\max$ 不再是指数分布，密度 $n(1-e^{-\lambda z})^{n-1}\lambda e^{-\lambda z}$。
随机向量的变换
$\begin{cases}u=g_1(x,y)\ v=g_2(x,y)\end{cases}$ 有唯一反函数、雅可比行列式 $J=\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\ne0$ 时：
$$h(u,v)=f\big(x(u,v),,y(u,v)\big),|J|$$
【教材例3.5.9】 $X,Y$ 独立 $\sim E(1)$，$U=X+Y$，$V=X/(X+Y)$：反解 $x=uv,y=u(1-v)$，$J=-u$，得 $h(u,v)=ue^{-u}$（$u>0,0<v<1$）；进而 $h_U=ue^{-u}$，$h_V=1$（$0<v<1$）→ $U$ 与 $V$ 独立（伽马与均匀”解耦”的经典例子）。
4.1 数学期望
定义（要求绝对收敛）
- 离散型：$EX=\displaystyle\sum_i x_ip_i$
- 连续型：$EX=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x),\mathrm dx$
注意 ：级数/积分必须绝对收敛，否则期望不存在。反例：$P\big(X=(-1)^k\frac{2^k}k\big)=\frac1{2^k}$ 条件收敛于 $-\ln2$ 但 $\sum\frac1k=+\infty$，期望不存在；柯西分布同理。
一句话理解：期望 = 以概率为权重的”加权平均”。频率视角：大量重复试验中取值的平均数会稳定在期望附近（第 5 章大数定律严格化）。
随机变量函数的期望（不用先求分布！）
定理4.1.1（一维）：
$$Eg(X)=\sum_i g(x_i)p_i\quad(\text{离散})；\qquad Eg(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}g(x)f(x),\mathrm dx\quad(\text{连续})$$
定理4.1.2（二维）：
$$Eg(X,Y)=\sum_i\sum_jg(x_i,y_j)p_{ij}\quad;\qquad Eg(X,Y)=\iint g(x,y)f(x,y),\mathrm dx,\mathrm dy$$
特别地 $EX=\sum_ix_ip_{i\cdot}$（或 $\iint xf,\mathrm dx\mathrm dy$）。
【教材例4.1.10 送客车问题（随机变量分解法）】 20 名乘客 10 个车站等可能独立下车，有人下才停：设 $X_i$=第 $i$ 站是否停车，则 $X=\sum X_i$，$EX_i=1-(\frac9{10})^{20}$，故
$$EX=10\left[1-\left(\frac{9}{10}\right)^{20}\right]\approx8.784\ \text{次}$$
把复杂变量拆成 0-1 变量之和是求期望的万能套路。
期望的性质
- $E(C)=C$；$E(CX)=CEX$
- 线性性：$E(X_1+\cdots+X_n)=EX_1+\cdots+EX_n$（不需要独立！）
- 独立时：$E(X_1X_2\cdots X_n)=EX_1,EX_2\cdots EX_n$
常见分布的期望（速查）
| 分布 | $E(X)$ | 分布 | $E(X)$ |
|---|---|---|---|
| 0-1 | $p$ | 均匀 $U(a,b)$ | $\frac{a+b}{2}$ |
| 二项 $B(n,p)$ | $np$ | 指数 $E(\lambda)$ | $\frac1\lambda$ |
| 泊松 $P(\lambda)$ | $\lambda$ | 正态 $N(\mu,\sigma^2)$ | $\mu$ |
| 几何 $G(p)$ | $\frac1p$ | $\Gamma(r,\lambda)$ | $\frac r\lambda$ |
（泊松的 $\lambda$、正态的 $\mu$ 就是期望——参数意义由此明确。）
4.2 方差
定义与计算
定义4.2.1：$DX=E[(X-EX)^2]$；标准差 $\sigma(X)=\sqrt{DX}$。
最常用公式 ：
$$DX=EX^2-(EX)^2$$
一句话理解：方差 = “平方的平均 − 平均的平方”，衡量取值偏离均值的波动程度。不用 $E|X-EX|$ 是因为绝对值难算。
【教材例4.2.2 线段两点距离】 $X,Y$ 独立 $\sim U(0,a)$：$E|X-Y|=\frac a3$，$E(|X-Y|^2)=\frac{a^2}6$，故 $D(|X-Y|)=\frac{a^2}{18}$。
方差的性质
- $D(C)=0$；$D(CX)=C^2DX$；$D(X+C)=DX$（平移不改波动）
- 任意两个随机变量：
$$D(X\pm Y)=DX+DY\pm2E[(X-EX)(Y-EY)]$$
- 独立（或两两独立）时：$D(X_1+\cdots+X_n)=DX_1+\cdots+DX_n$
- $DX=0\iff P(X=EX)=1$（方差为 0 ⟺ 以概率 1 取常数）
切比雪夫不等式
定理4.2.1：$EX=\mu$，$DX=\sigma^2$，则对任意 $\varepsilon>0$：
$$P(|X-\mu|\ge\varepsilon)\le\frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}\qquad\text{等价地}\qquad P(|X-\mu|<\varepsilon)\ge1-\frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$$
价值：分布未知、只知道期望方差，也能估计概率的界。证明一行：把 $P(|X-\mu|\ge\varepsilon)=\int_{|x-\mu|\ge\varepsilon}f,\mathrm dx\le\int\frac{(x-\mu)^2}{\varepsilon^2}f,\mathrm dx=\frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}$。它还是第 5 章大数定律的证明工具。
常见分布的方差（速查）
| 分布 | $D(X)$ | 分布 | $D(X)$ |
|---|---|---|---|
| 0-1 | $p(1-p)$ | 均匀 $U(a,b)$ | $\frac{(b-a)^2}{12}$ |
| 二项 $B(n,p)$ | $np(1-p)$ | 指数 $E(\lambda)$ | $\frac1{\lambda^2}$ |
| 泊松 $P(\lambda)$ | $\lambda$（=期望！） | 正态 $N(\mu,\sigma^2)$ | $\sigma^2$ |
| 几何 $G(p)$ | $\frac{1-p}{p^2}$ | $\Gamma(r,\lambda)$ | $\frac r{\lambda^2}$ |
4.3 协方差与相关系数
协方差
定义4.3.1：
$$\mathrm{Cov}(X,Y)=E[(X-EX)(Y-EY)]=E(XY)-EX\cdot EY$$
（第二个等式是实际计算用的。）
性质：$\mathrm{Cov}(X,X)=DX$；对称；$\mathrm{Cov}(aX,bY)=ab,\mathrm{Cov}(X,Y)$；$\mathrm{Cov}(X+Y,Z)=\mathrm{Cov}(X,Z)+\mathrm{Cov}(Y,Z)$；独立 $\Rightarrow\mathrm{Cov}=0$。
相关系数
定义4.3.2（$DX,DY>0$）：
$$\rho_{XY}=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{DX}\sqrt{DY}}$$
本质是标准化后变量的协方差：$\rho_{XY}=\mathrm{Cov}\big(\frac{X-EX}{\sqrt{DX}},\frac{Y-EY}{\sqrt{DY}}\big)$——消除了量纲和数值大小的影响。
两条核心性质 ：
- $|\rho_{XY}|\le1$
- $|\rho_{XY}|=1\iff P(Y=aX+b)=1$（以概率 1 线性相关）：$\rho=1$ 时 $a>0$ 完全正相关；$\rho=-1$ 时 $a<0$ 完全负相关
例：掷 $n$ 次硬币，正面数 $X$ 与反面数 $Y=n-X$，$\rho=-1$。
例4.3.3 二维正态：$(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)$ 的相关系数 $\rho_{XY}$ 恰好就是参数 $\rho$（$\mathrm{Cov}(X,Y)=\sigma_1\sigma_2\rho$）。
不相关
定义4.3.3：$\rho_{XY}=0$ 称 $X,Y$ 不相关。六个等价命题：
$$\text{不相关}\iff\mathrm{Cov}=0\iff E(XY)=EX\cdot EY\iff D(X+Y)=DX+DY\iff D(X-Y)=DX+DY\iff D(X-Y)=D(X+Y)$$
最重要的辨析 ：
- 独立 ⇒ 不相关；不相关 ⇏ 独立
- 不相关只是没有线性关系，可能有非线性关系（如 $X$ 与 $X^2$、$X$ 与 $|X|$）
- 唯一例外：二维正态分布下”独立 ⟺ 不相关”
4.4 矩与协方差矩阵
定义4.4.1：
- $k$ 阶原点矩 $EX^k$；$k$ 阶绝对原点矩 $E|X|^k$
- $k$ 阶中心矩 $E(X-EX)^k$；绝对中心矩 $E|X-EX|^k$
期望是一阶原点矩，方差是二阶中心矩，协方差是 $k+l$ 阶混合中心矩 $E[(X-EX)^k(Y-EY)^l]$（$k=l=1$）的特例。$k$ 阶矩存在 ⇒ 所有低阶矩都存在。
例4.4.1 标准正态的各阶矩（结论背下来）：
$$E(X^k)=\begin{cases}0,&k\ \text{奇数}\ (k-1)!!,&k\ \text{偶数}\end{cases}\qquad((k-1)!!\ \text{为双阶乘})$$
定义4.4.3（协方差矩阵）：$n$ 维随机变量的
$$\mathrm{Cov}(X)=\big(\mathrm{Cov}(X_i,X_j)\big)_{n\times n}$$
必为对称矩阵，且半正定。
5.1 大数定律
依概率收敛
定义5.1.2：若对任意 $\varepsilon>0$，$\lim\limits_{n\to\infty}P(|X_n-X|\ge\varepsilon)=0$，记 $X_n\xrightarrow{P}X$。性质：四则与连续函数都保持依概率收敛（$g$ 连续时 $g(X_n)\xrightarrow{P}g(X)$）。
定义5.1.3（大数定律）：存在常数列 $a_n$ 使
$$\lim_{n\to\infty}P\left(\left|\frac1n\sum_{i=1}^nX_i-a_n\right|\ge\varepsilon\right)=0$$
则称 ${X_n}$ 服从大数定律。
四大定律（条件对比是考点）
| 定律 | 条件 | 结论 |
|---|---|---|
| 切比雪夫 | 独立 + 方差有公共上界 $DX_i\le C$ | $\frac1n\sum X_i\xrightarrow{P}\frac1n\sum EX_i$（证明用切比雪夫不等式，界 $\frac{C}{n\varepsilon^2}\to0$） |
| 马尔可夫 | 马尔可夫条件 $\frac1{n^2}D(\sum_{i=1}^nX_i)\to0$ | 同上（不要求独立，更弱更一般） |
| 伯努利 | $n$ 重伯努利试验，$n_A$ 为 $A$ 发生次数 | $\frac{n_A}n\xrightarrow{P}p$（频率稳定性的严格证明，用频率估计概率的依据） |
| 辛钦 | 独立同分布，只需 $EX_1=\mu$ 存在（不要求方差存在） | $\frac1n\sum X_i\xrightarrow{P}\mu$ |
辛钦大数定律的推广（数理统计的理论基础）：若 $E|X_1|^k$ 存在，则
$$\frac1n\sum_{i=1}^nX_i^k\xrightarrow{P}EX_1^k$$
——样本矩依概率收敛于总体矩，这就是第 7 章矩估计法的理论依据。
5.2 中心极限定理
一般提法
研究独立随机变量之和什么时候近似正态。令标准化和
$$Y_n=\frac{\sum_{k=1}^nX_k-\sum_{k=1}^nEX_k}{\sqrt{\sum_{k=1}^nDX_k}}$$
若 $Y_n$ 的分布函数趋于 $\Phi(x)$，则称 ${X_n}$ 服从中心极限定理。
三大中心极限定理
① 林德伯格–莱维（独立同分布 CLT）：$X_n$ 独立同分布，$EX_n=\mu$，$DX_n=\sigma^2>0$：
$$\frac{\sum_{k=1}^nX_k-n\mu}{\sqrt n,\sigma}\xrightarrow{\text{分布}}N(0,1),\qquad \sum_{k=1}^nX_k\ \stackrel{\cdot}{\sim}\ N(n\mu,\ n\sigma^2)$$
实用式：$P\big(\sum_{k=1}^nX_k\le x\big)\approx\Phi\Big(\dfrac{x-n\mu}{\sqrt n\sigma}\Big)$。不必管原来是什么分布！
② 棣莫弗–拉普拉斯（二项分布的正态近似，历史上第一个 CLT）：$n_A\sim B(n,p)$：
$$\frac{n_A-np}{\sqrt{np(1-p)}}\xrightarrow{\text{分布}}N(0,1),\qquad n\ \text{大时}\ n_A\ \stackrel{\cdot}{\sim}\ N\big(np,\ np(1-p)\big)$$
$$P(k_1\le n_A\le k_2)\approx\Phi\Big(\frac{k_2-np}{\sqrt{np(1-p)}}\Big)-\Phi\Big(\frac{k_1-np}{\sqrt{np(1-p)}}\Big)$$
③ 李雅普诺夫（独立不同分布 CLT）：$X_k$ 独立，$EX_k=\mu_k$，$DX_k=\sigma_k^2$，$B_n^2=\sum\sigma_k^2$，若李雅普诺夫条件成立（存在 $\delta>0$）：
$$\frac{1}{B_n^{2+\delta}}\sum_{k=1}^nE|X_k-\mu_k|^{2+\delta}\to0$$
则 $\sum X_k\ \stackrel{\cdot}{\sim}\ N(\sum\mu_k,\ B_n^2)$。核心意义：不管各个变量服从什么分布，和近似正态——这就是正态分布地位重要的根本原因。
应用套路（考试万能模板）
识别”独立随机变量之和” → 求 $E$ 和 $D$ → 标准化 $\frac{\sum X_k-\sum EX_k}{\sqrt{\sum DX_k}}$ → 用 $\Phi$ 近似 → 反解未知量。
【教材例5.2.1 装车】 每箱重 $\mu=50$kg、$\sigma=5$kg，载重 5 吨：$P(U_n\le5000)\approx\Phi\big(\frac{1000-10n}{\sqrt n}\big)\ge0.977=\Phi(2)$ → $n\le98.02$，最多装 98 箱。
【教材例5.2.3 试卷】 99 题答对概率 $1-\frac i{100}$：$E=49.5$，$B_{99}^2=16.665$，答对 ≥60 题概率 $\approx1-\Phi(2.57)=0.005$——通过的可能性仅千分之五。
6.1 总体与样本
总体：研究对象的全体；抛掉实际背景，总体就是一个概率分布（用一个随机变量 $X$ 代表），个体的取值就是 $X$ 的可能值。样本：从总体随机抽取的 $n$ 个个体 $X_1,\cdots,X_n$；观测后的具体数值 $(x_1,\cdots,x_n)$ 为样本观测值。
样本的二重性：抽取前是随机变量，观测后是确定数值。
简单随机样本：满足①独立性（$X_1,\cdots,X_n$ 相互独立）②代表性（每个 $X_i$ 与总体同分布）。有限总体要放回抽样；$N$ 很大且 $n\ll N$ 时不放回可近似看作放回。
样本的联合分布（最大似然估计的基础）：
$$F(x_1,\cdots,x_n)=\prod_{i=1}^nF(x_i),\qquad f(x_1,\cdots,x_n)=\prod_{i=1}^nf(x_i)$$
一句话理解：独立同分布样本 = 把总体分布”复印 n 份”。
6.2 统计量
定义6.2.1：样本的函数 $T=T(X_1,\cdots,X_n)$ 不含任何未知参数，称为统计量；其分布称为抽样分布。
注意 ：统计量本身不含未知参数，但它的分布可以含（如 $\overline X\sim N(\mu,\sigma^2/n)$）；另外还有枢轴量——只含一个未知参数但分布完全已知（如 $\frac{\overline X-\mu}{\sigma_0/\sqrt n}$），它不是统计量，是区间估计的工具。
七种样本矩：
| 统计量 | 公式 |
|---|---|
| 样本均值 | $\overline X=\dfrac1n\sum X_i$ |
| （未修正）样本方差 | $S_n^2=\dfrac1n\sum(X_i-\overline X)^2$ |
| （修正）样本方差 | $S^2=\dfrac{1}{n-1}\sum(X_i-\overline X)^2$ |
| $k$ 阶原点矩 | $A_k=\dfrac1n\sum X_i^k$ |
| $k$ 阶中心矩 | $B_k=\dfrac1n\sum(X_i-\overline X)^k$ |
另有顺序统计量 $X_{(1)}\le\cdots\le X_{(n)}$（次序统计量），样本极差 $X_{(n)}-X_{(1)}$。
为什么分母是 $n-1$？ 因为只有 $S^2$ 才是 $\sigma^2$ 的无偏估计（$ES^2=\sigma^2$，而 $ES_n^2=\frac{n-1}n\sigma^2$）——第 7 章展开。
核心性质（性质6.2.4）：总体 $E X=\mu$，$DX=\sigma^2$，则
$$E\overline X=\mu,\qquad D\overline X=\frac{\sigma^2}n,\qquad ES^2=\sigma^2$$
计算技巧：$S_n^2=\dfrac1n\sum X_i^2-\overline X^2$；$\dfrac1{n(n-1)}\sum_{i<j}(X_i-X_j)^2=S^2$。
6.3 抽样分布
分位数
上侧 $\alpha$ 分位数：$P(X>F_\alpha)=\alpha$，即 $F(F_\alpha)=1-\alpha$。常用关系：$P(F_{1-\alpha/2}<X\le F_{\alpha/2})=1-\alpha$。对称分布（正态、$t$）还有双侧分位数 $P(|X|>F_{\alpha/2})=\alpha$；$\chi^2$、$F$ 非对称，没有双侧分位数。
三大抽样分布（都以标准正态为基石）
① $\chi^2$ 分布：$X_1,\cdots,X_n$ 独立同 $N(0,1)$，则
$$\chi^2=\sum_{i=1}^nX_i^2\ \sim\ \chi^2(n)$$
- 自由度 $n$：$n$ 个可独立取值的变量的平方和（也可理解为二次型的秩）
- $E\chi^2=n$，$D\chi^2=2n$
- 可加性：$X\sim\chi^2(n)$，$Y\sim\chi^2(m)$ 独立 $\Rightarrow X+Y\sim\chi^2(n+m)$
- $n$ 大时 $\chi^2\ \stackrel{\cdot}{\sim}\ N(n,2n)$
② $t$ 分布：$X\sim N(0,1)$，$Y\sim\chi^2(n)$ 独立：
$$T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}\ \sim\ t(n)$$
Gosset 以 “Student” 笔名发表（学生氏分布），小样本推断的开山之作。性质：关于 $y$ 轴对称（有双侧分位数，$t_\alpha(n)=-t_{1-\alpha}(n)$）；尾部比标准正态厚；$n\to\infty$ 时趋于 $N(0,1)$。
③ $F$ 分布：$X\sim\chi^2(m)$，$Y\sim\chi^2(n)$ 独立：
$$F=\frac{X/m}{Y/n}\ \sim\ F(m,n)$$
- 倒数性质：$1/F\sim F(n,m)$
- $T\sim t(n)\Rightarrow T^2\sim F(1,n)$
- 分位数倒数公式（查表必备）：$F_{1-\alpha}(m,n)=\dfrac{1}{F_\alpha(n,m)}$——注意自由度要换序！
正态总体的抽样分布定理（统计推断的心脏）
定理6.3.1（费希尔定理）：$X\sim N(\mu,\sigma^2)$，样本均值 $\overline X$、样本方差 $S^2$：
- $\overline X\sim N\big(\mu,\ \dfrac{\sigma^2}n\big)$
- $\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$（自由度 $n-1$！）
- $\overline X$ 与 $S^2$ 相互独立（正态总体特有）
定理6.3.2（单正态总体）：
$$U=\frac{\overline X-\mu}{\sigma/\sqrt n}\sim N(0,1)\quad(\sigma\ \text{已知})；\qquad T=\frac{\overline X-\mu}{S/\sqrt n}\sim t(n-1)\quad(\sigma\ \text{未知})$$
定理6.3.3（两正态总体，$X\sim N(\mu_1,\sigma_1^2)$、$Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$ 独立，样本容量 $n,m$）：
- $\dfrac{(\overline X-\overline Y)-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}n+\frac{\sigma_2^2}m}}\sim N(0,1)$
- $\dfrac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2}\sim F(n-1,,m-1)$
- $\sigma_1^2=\sigma_2^2$ 时：$\dfrac{(\overline X-\overline Y)-(\mu_1-\mu_2)}{\sqrt{\dfrac{(n-1)S_1^2+(m-1)S_2^2}{n+m-2}}\sqrt{\dfrac1n+\dfrac1m}}\sim t(n+m-2)$
记忆要点：$n$ 配 $S_1^2$、$m$ 配 $S_2^2$；等方差时的合并方差 $=\frac{(n-1)S_1^2+(m-1)S_2^2}{n+m-2}$；$t$ 的自由度 $n+m-2$。
7.1 点估计的概念与评价标准
点估计：用统计量 $\hat\theta(X_1,\cdots,X_n)$ 估计未知参数 $\theta$；观测后的具体值为估计值。同一参数可以有很多种估计（如 $\overline X$、$X_1$、$\frac12(X_{(1)}+X_{(n)})$），所以要立评价标准。
无偏性
定义7.1.3：$E_\theta(\hat\theta)=\theta$ 对一切 $\theta\in\Theta$ 成立 → 无偏估计（无系统误差）。
- $\hat\theta$ 无偏 $\Rightarrow\hat\theta^2$ 一般不再无偏（$E\hat\theta^2=\theta^2+D\hat\theta$）；函数传递只对线性成立
- $S^2$ 是 $\sigma^2$ 的无偏估计；$S_n^2$ 是渐近无偏
- 0-1 总体：$\overline X$ 是 $p$ 的无偏估计；$\frac{n\overline X(1-\overline X)}{n-1}$ 与 $S^2$ 是 $p(1-p)$ 的无偏估计
- 无偏估计可能不唯一（$P(\lambda)$：$\overline X$、$S^2$ 及其任意凸组合都无偏），也可能不存在（$B(1,p)$ 中 $1/p$ 无偏估计不存在）
- 小样本别迷信无偏性：存在”荒谬的”无偏估计（偶取 1 奇取 −1 估 $e^{-2\lambda}$）
有效性
定义7.1.4：两个无偏估计 $\hat\theta_1,\hat\theta_2$，若 $D\hat\theta_1\le D\hat\theta_2$（至少一处严格），则 $\hat\theta_1$ 更有效。
- 一切凸组合 $\sum k_iX_i$（$\sum k_i=1$）中 $\overline X$ 方差最小（柯西不等式）
- $U(0,\theta)$：$\frac{n+1}nX_{(n)}$ 与 $(n+1)X_{(1)}$ 都无偏，前者方差 $\frac{\theta^2}{n(n+2)}<$ 后者 $\frac{2(n+1)\theta^2}{n+2}$，前者更有效
相合性（一致性）
定义7.1.5：$\hat\theta_n\xrightarrow{P}\theta$（依概率收敛）→ 相合估计。大样本下的最基本要求。
- 验证套路：无偏 + 方差 $\to0$，用切比雪夫不等式收尾
- 定理7.1.1：$E\theta_n\to\theta$ 且 $D\theta_n\to0$ ⇒ 相合
- 定理7.1.2：$\theta_n$ 相合、$g$ 连续 ⇒ $g(\theta_n)$ 相合
7.2 参数的点估计
矩估计法（Pearson, 1894）
思想：用样本矩替换总体矩（依据：辛钦大数定律，样本矩依概率收敛于总体矩）。
步骤：① 算总体矩 $\mu_k=EX^k$（含参数）；② 把参数用矩表示 $\theta_j=\theta_j(\mu_1,\cdots,\mu_k)$；③ 用 $A_k=\frac1n\sum X_i^k$ 替换 $\mu_k$。
万能结论：$\hat\mu=\overline X$，$\hat\sigma^2=S_n^2=\dfrac1n\sum X_i^2-\overline X^2$（矩估计里的”样本方差”是除以 n 的！）。
注意 ：
- 矩估计不需要知道分布类型，但可能不唯一（用不同矩得到不同估计，如 $E(\lambda)$ 可得 $\hat\lambda=1/\overline X$ 或 $1/S_n$）
- 矩估计可能不存在（柯西分布无期望）
- 矩估计与参数空间无关，估计值可能跑到参数空间外面（$\hat p=3/7\notin[1/2,2/3]$），只有大样本下才合理
- $g$ 连续时 $g(\hat\theta)$ 是 $g(\theta)$ 的矩估计
最大似然估计法（MLE）
思想（最大似然原理）：已经观测到的样本出现的概率应该最大——“谁最像，就猜谁”。
步骤 ：
- 写似然函数：离散 $L(\theta)=\prod p(x_i;\theta)$；连续 $L(\theta)=\prod f(x_i;\theta)$
- 取对数 $\ln L(\theta)$（连乘变连加）
- 解对数似然方程 $\dfrac{\mathrm d\ln L}{\mathrm d\theta}=0$（多参数时偏导方程组）
- 检验是不是最大值点；若 $L$ 关于 $\theta$ 单调，则直接按定义取边界值
经典例题：
- $U[0,\theta]$：$L=(1/\theta)^n$ 关于 $\theta$ 递减 → $\hat\theta=X_{(n)}$（单调时直接取边界，导数法失效！）
- $U[\theta,\theta+1]$：MLE 不唯一——$\hat\theta=kX_{(1)}+(1-k)(X_{(n)}-1)$，任意 $k\in[0,1]$
- 估计湖中鱼数：$r$ 条作记号再钓 $s$ 条发现 $x$ 条有记号，$\hat N=\big[\frac{rs}x\big]$
- 两参数指数分布：$\hat\mu=X_{(1)}$（$L$ 关于 $\mu$ 单调增），$\hat\theta=\overline X-X_{(1)}$
MLE 三大注意：① 可能不唯一甚至无穷多；② 可能没有显式解（超越方程需数值求解）；③ 驻点不一定是极值点，解完要检验。
7.3 区间估计
置信区间
定义7.3.1：统计量 $\hat\theta_L,\hat\theta_U$ 使
$$P(\hat\theta_L<\theta<\hat\theta_U)=1-\alpha$$
则 $(\hat\theta_L,\hat\theta_U)$ 为置信水平（置信度）$1-\alpha$ 的置信区间；$\alpha$ 称显著性水平。
正确解读（必考易错） ：$\theta$ 是常数不是随机变量！不能说”$\theta$ 落入区间的概率是 $1-\alpha$“，而应说”随机区间以 $1-\alpha$ 的概率盖住真值”——反复抽样 100 次，大约 $100(1-\alpha)$ 个区间盖住真值。
可靠度 vs 精度：置信度越高区间越长。样本容量固定时二者矛盾，先保证置信度再谈精度；增大 $n$ 才能两全。
枢轴量法四步：① 取 $\theta$ 的点估计 $T$；② 构造分布已知的 $G(T,\theta)$（枢轴量）；③ 取 $c_1,c_2$ 使 $P(c_1<G<c_2)=1-\alpha$；④ 不等式变形解出 $\theta$ 的范围。
正态总体置信区间总表（必背）
| 待估参数 | 条件 | 枢轴量分布 | 置信区间 |
|---|---|---|---|
| $\mu$ | $\sigma_0^2$ 已知 | $N(0,1)$ | $\Big(\overline X\pm\dfrac{\sigma_0}{\sqrt n}u_{\alpha/2}\Big)$ |
| $\mu$ | $\sigma^2$ 未知 | $t(n-1)$ | $\Big(\overline X\pm\dfrac{S}{\sqrt n}t_{\alpha/2}(n-1)\Big)$ |
| $\mu_1-\mu_2$ | 两方差已知 | $N(0,1)$ | $\Big(\overline X-\overline Y\pm\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}n+\dfrac{\sigma_2^2}m},u_{\alpha/2}\Big)$ |
| $\mu_1-\mu_2$ | 等方差未知 | $t(n+m-2)$ | $\Big(\overline X-\overline Y\pm\sqrt{\dfrac{(n-1)S_1^2+(m-1)S_2^2}{n+m-2}}\sqrt{\dfrac1n+\dfrac1m};t_{\alpha/2}(n+m-2)\Big)$ |
| $\sigma^2$ | $\mu$ 未知 | $\chi^2(n-1)$ | $\Big(\dfrac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)},\ \dfrac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)}\Big)$ |
| $\sigma^2$ | $\mu_0$ 已知 | $\chi^2(n)$ | $\Big(\dfrac{\sum(X_i-\mu_0)^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n)},\ \dfrac{\sum(X_i-\mu_0)^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n)}\Big)$ |
| $\sigma_1^2/\sigma_2^2$ | 均值未知 | $F(n-1,m-1)$ | $\Big(\dfrac{S_1^2}{S_2^2F_{\alpha/2}(n-1,m-1)},\ \dfrac{S_1^2}{S_2^2F_{1-\alpha/2}(n-1,m-1)}\Big)$ |
区间解读：$\mu_1-\mu_2$ 的区间下限 $>0$ ⇒ $\mu_1>\mu_2$；上限 $<0$ ⇒ $\mu_1<\mu_2$；含 0 ⇒ 差异不显著。$\sigma_1^2/\sigma_2^2$ 的区间以 1 为界同理。
实用结论：
- $\sigma^2$ 已知时若用 $\sigma^2$ 未知的公式（$t$ 区间）虽不算错但被视为”错误”——没用上已知信息，精度变差
- 非正态大样本：$n$ 充分大时 $\mu$ 的近似置信区间 $\Big(\overline X\pm\dfrac S{\sqrt n}u_{\alpha/2}\Big)$（中心极限定理）
- 比率 $p$ 的大样本区间：$\Big(\overline X\pm\sqrt{\dfrac{\overline X(1-\overline X)}{n}},u_{\alpha/2}\Big)$（支持率、收视率问题）
8.1 假设检验的基本概念和方法
基本概念
- 原假设 $H_0$ 与备择假设 $H_1$：$H_0$ 是”不应轻易否定”的保守假设（厂家信誉良好则 $H_0$=“产品合格”；新药试验则 $H_0$=“新药不优于旧药”），只有样本提供足够不利的证据才拒绝它。
- 拒绝域 $W$：使 $H_0$ 被拒绝的样本观测值区域；补集为接受域。
- 小概率原理：小概率事件在一次试验中几乎不发生。假设检验 = 小概率原理 + 概率反证法：先假定 $H_0$ 真，若导致小概率事件竟然发生，就有理由拒绝 $H_0$。
假设检验四步骤
- 建立假设：$H_0:\mu=\mu_0\leftrightarrow H_1:\mu\ne\mu_0$
- 选检验统计量（$H_0$ 真时分布已知），给拒绝域形式
- 由显著性水平 $\alpha$（$P(\text{拒绝}H_0\mid H_0\text{真})\le\alpha$）定临界值、确定拒绝域
- 计算统计量观测值：落入 $W$ 则拒绝 $H_0$，否则接受
【教材例8.1.1 灯泡】 $X\sim N(1800,100^2)$，$n=25$，$\overline x=1730$：$|u|=\big|\frac5{100}(1730-1800)\big|=3.5>1.96=u_{0.025}$ → 拒绝”$\mu=1800$”。（点估计答不了这题：$P(\overline X=1800)=0$。）
两类错误
| 真实情况 $H_0$ 真 | 真实情况 $H_1$ 真 | |
|---|---|---|
| 拒绝 $H_0$ | 第一类错误（弃真），概率 $\le\alpha$ | 判断正确 |
| 接受 $H_0$ | 判断正确 | 第二类错误（取伪），概率 $\beta$ |
- $n$ 固定时 $\alpha$ 与 $\beta$ 此消彼长，不能同时减小；一般 $\alpha+\beta\ne1$
- $\alpha=0.05$ 下拒绝称”显著”；$\alpha=0.01$ 下拒绝称”高度显著”
- 后果严重的场合（药品毒副作用、飞机部件）$\alpha$ 要取小
- 典型计算：拒绝域 ${\overline x\ge c}$ 检验 $H_0:\mu=\mu_0\leftrightarrow H_1:\mu=\mu_1$ 时 $\alpha=1-\Phi\big(\frac{\sqrt n(c-\mu_0)}{\sigma_0}\big)$，$\beta=\Phi\big(\frac{\sqrt n(c-\mu_1)}{\sigma_0}\big)$
8.2 正态总体均值的假设检验
U 检验法（σ 已知，统计量 ~ N(0,1)）
单总体双侧：$X\sim N(\mu,\sigma_0^2)$，$\sigma_0^2$ 已知，
$$H_0:\mu=\mu_0\leftrightarrow H_1:\mu\ne\mu_0,\qquad U=\frac{\sqrt n(\overline X-\mu_0)}{\sigma_0}\sim N(0,1),\qquad \text{拒绝域 }|u|\ge u_{\alpha/2}$$
单侧检验（拒绝域方向与 $H_1$ 一致）：
- 左侧 $H_1:\mu<\mu_0$：拒绝域 $u\le u_{1-\alpha}=-u_\alpha$
- 右侧 $H_1:\mu>\mu_0$：拒绝域 $u\ge u_\alpha$
- $H_0$ 写成 $\mu\ge\mu_0$（或 $\le$）时结论不变，弃真概率仍 $\le\alpha$
两总体（方差已知）：$U=\dfrac{\overline X-\overline Y}{\sqrt{\sigma_1^2/n+\sigma_2^2/m}}\sim N(0,1)$，双侧拒绝域 $|u|\ge u_{\alpha/2}$。
【教材例8.2.1 纽扣】 $\mu_0=26$，$\sigma_0^2=5.2$，$n=100$，$\overline x=26.56$：$|u|=2.46$：$\alpha=0.05$ 拒绝（$>1.96$），$\alpha=0.01$ 接受（$<2.58$）——不同显著性水平可能得出相反结论。
【教材例8.2.3 跨栏 → 单侧更敏锐】 双侧检验 $u=1.849<1.96$ 不显著；改单侧 $H_1:\mu_1>\mu_2$ 后 $u=1.849>1.645=u_{0.05}$ 显著——单侧检验利用了数据的信息。
T 检验法（σ 未知，统计量 ~ t(n−1)）
单总体双侧：
$$T=\frac{\sqrt n(\overline X-\mu_0)}{S}\sim t(n-1),\qquad \text{拒绝域 }|t|\ge t_{\alpha/2}(n-1)$$
单侧：左侧拒绝域 $t\le-t_\alpha(n-1)$；右侧拒绝域 $t\ge t_\alpha(n-1)$。
【教材例8.2.5 白糖净重】 $n=9$，$\overline x=499.412$，$s=0.676$：$|t|=2.609>t_{0.025}(8)=2.306$ → 拒绝，净重不合标准；单侧 $t=-2.609<-t_{0.05}(8)=-1.86$ → 净重不足。
重要规律 ：因为 $t_\alpha(n)<t_{\alpha/2}(n)$，双侧检验显著 ⇒ 单侧检验必显著；反之不一定。
【教材例8.2.6 原假设提法的影响】 厂家断言 $\mu\le0.8$（$t=1.5$）：
- 设 $H_0:\mu\le0.8$：拒绝域 $t\ge1.753$，不拒绝 → 不能否定厂家
- 设 $H_0:\mu>0.8$：拒绝域 $t\le-1.753$，不拒绝 → 否定厂家
提法不同、着眼点不同，结论可以截然相反——数据的偏向不决定性时，立场会影响结论。
两总体均值的 T 检验（等方差未知）
先用 F 检验验证方差齐性，再用
$$T=\frac{\overline X-\overline Y}{\sqrt{\dfrac{(n-1)S_1^2+(m-1)S_2^2}{n+m-2}}\sqrt{\dfrac1n+\dfrac1m}}\sim t(n+m-2),\qquad \text{拒绝域 }|t|\ge t_{\alpha/2}(n+m-2)$$
【教材例8.3.3 安眠药（完整流程示范）】 甲乙两组各 10 人：先 F 检验 $\frac{s_1^2}{s_2^2}=1.25\in\big(\frac1{4.03},4.03\big)$ 方差齐；再 T 检验 $|t|=1.86<t_{0.025}(18)=2.10$ → 两药疗效无显著差异。
8.3 正态总体方差的假设检验
χ² 检验法（单个总体）
| 条件 | 统计量（$H_0$ 真时） | 双侧拒绝域 |
|---|---|---|
| $\mu_0$ 已知 | $\chi^2=\dfrac1{\sigma_0^2}\sum(x_i-\mu_0)^2\sim\chi^2(n)$ | $\chi^2\ge\chi^2_{\alpha/2}(n)$ 或 $\chi^2\le\chi^2_{1-\alpha/2}(n)$ |
| $\mu$ 未知 | $\chi^2=\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}\sim\chi^2(n-1)$ | $\chi^2\ge\chi^2_{\alpha/2}(n-1)$ 或 $\chi^2\le\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)$ |
单侧（右）：$H_0:\sigma^2\le\sigma_0^2\leftrightarrow H_1:\sigma^2>\sigma_0^2$，用 $\chi_0^2=\frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}$，拒绝域 $\chi_0^2\ge\chi^2_\alpha(n-1)$。
【教材例8.3.1 洗衣粉】 标准差要求 ≤15g，$n=10$，$s^2=30.23^2$：$\chi_0^2=\frac{9\times30.23^2}{15^2}=36.55>16.919=\chi^2_{0.05}(9)$ → 拒绝，包装机不正常（方差已超标，均值不用再验）。
F 检验法（两个总体）
$$H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2\leftrightarrow H_1:\sigma_1^2\ne\sigma_2^2,\qquad F=\frac{S_1^2}{S_2^2}\ \overset{H_0}{\sim}\ F(n-1,m-1)$$
拒绝域：$\dfrac{s_1^2}{s_2^2}\ge F_{\alpha/2}(n-1,m-1)$ 或 $\dfrac{s_1^2}{s_2^2}\le F_{1-\alpha/2}(n-1,m-1)$（后者用 $F_{1-\alpha/2}(n-1,m-1)=\frac1{F_{\alpha/2}(m-1,n-1)}$ 查表）。
p 值
定义：利用样本值能够拒绝 $H_0$ 的最小显著性水平。
判断规则：$\alpha\ge p$ → 拒绝 $H_0$；$\alpha<p$ → 接受 $H_0$。
【教材例8.3.4】 $X\sim N(\mu,9)$，$n=10$，$\overline x=12$，$H_0:\mu=10$：$|u|=2.11$，$p=P(|U|\ge2.11)=2[1-\Phi(2.11)]=0.0348$——把 $\alpha$ 降到 0.0348 仍然拒绝。统计软件输出的都是 p 值。
假设检验与区间估计的关系
- 联系：同一枢轴量，方差未知时 $\mu$ 的双侧检验接受域 = 置信区间盖住 $\mu_0$；两者可互相导出
- 区别：区间估计给出参数的估计范围，假设检验只回答”假设对不对”；检验的信息量不如区间估计确切 → 解读检验结果要小心，最好同时报告区间估计
附录：全书一页纸速查
常见分布一览（记号 / 分布律或密度 / 期望 / 方差）：
| 分布 | 分布律或密度 | $E(X)$ | $D(X)$ |
|---|---|---|---|
| 0-1 | $P(X=1)=p$ | $p$ | $p(1-p)$ |
| 二项 $B(n,p)$ | $\binom nkp^kq^{n-k}$ | $np$ | $np(1-p)$ |
| 泊松 $P(\lambda)$ | $\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}$ | $\lambda$ | $\lambda$ |
| 几何 $G(p)$ | $q^{k-1}p$ | $\frac1p$ | $\frac{1-p}{p^2}$ |
| 超几何 | $\frac{\binom Nk\binom M{n-k}}{\binom{N+M}n}$ | —— | —— |
| 均匀 $U(a,b)$ | $\frac1{b-a}$ | $\frac{a+b}2$ | $\frac{(b-a)^2}{12}$ |
| 指数 $E(\lambda)$ | $\lambda e^{-\lambda x}$ | $\frac1\lambda$ | $\frac1{\lambda^2}$ |
| 正态 $N(\mu,\sigma^2)$ | $\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ | $\mu$ | $\sigma^2$ |
检验方法选择树：均值检验 → 方差已知用 U 检验 / 未知用 T 检验（两总体先做 F 检验验方差齐性）；方差检验 → 单总体 χ² 检验 / 两总体 F 检验。
概率论 → 数理统计的桥梁：辛钦大数定律 ⇒ 矩估计的合理性；中心极限定理 ⇒ 大样本置信区间；伯努利大数定律 ⇒ 频率估计概率。
祝考试顺利！
